Dimostrazione algebra degli insiemi
Ho difficoltà a dimostrare queste uguaglianze insiemistiche; qualcuno puo aiutarmi? Grazie!!
il ! stà per insieme complemento
$N nn M = varphi iff N sub !M $
$A sub B iff !B sub !A$
il ! stà per insieme complemento
$N nn M = varphi iff N sub !M $
$A sub B iff !B sub !A$
Risposte
@gvx,
suppongo sia \(\phi=\emptyset \) ? giusto?
Saluti
"gvx":
Ho difficoltà a dimostrare queste uguaglianze insiemistiche; qualcuno puo aiutarmi? Grazie!!
il ! stà per insieme complemento
$N nn M = varphi iff A sub !B $
$A sub B iff !B sub !A$
suppongo sia \(\phi=\emptyset \) ? giusto?
Saluti
si, scusami, ho sbagliato simbolo, è l'insieme vuoto
nessuno che può aiutarmi? più che l'esercizio in se mi interessa capire il modo per fare queste dimostrazioni; grazie!
Suppongo sia $N=A$ e $M=B$? O viceversa $\ldots$
si scusa, ho corretto il titolo della traccia
@gvx,
tu hai $$N \cap M = \emptyset \leftrightarrow N \subset \complement^M_U$$ $$ A \subset B \leftrightarrow \complement^B_U \subset \complement^A_U $$ con \( U \) l'insieme universo tale che \( N,M,A,B \subset U \) e dato un insieme \( C \subset U \) con \( \complement^C_U \) intendo il complementare di \( C \) rispetto ad \( U \) (ovvero anche l'insieme differenza \( U-C \)). Passiamo a dimostrare la prima legge, ovvero $$N \cap M = \emptyset \leftrightarrow N \subset \complement^M_U$$ che sarebbe $$(N \cap M = \emptyset \to N \subset \complement^M_U) \wedge (N \subset \complement^M_U \to N \cap M = \emptyset)$$ ovviamente penso che \(\subset \) sia usato per indicare l'inclusione nel senso più largo del termine (o come si dice quella "impropria"), e nel dimostrare il primo verso, ovvero $$N \cap M = \emptyset \to N \subset \complement^M_U$$ si può procedere per assurdo avendo così che $$N \not\subset \complement^M_U$$ ergo $$\exists x \in N(x \notin \complement^M_U)$$ o equivalentemente $$\exists x \in N(x \notin U-M)$$ quindi $$x \in N \wedge (x \notin U \vee x \in M) $$ avendo così $$(x \in N \wedge x \notin U) \vee (x \in N \wedge x \in M)) $$ ora analizzando ambedue i casi avremo che $$(x \in N \wedge x \notin U) \to N \not\subset U $$ ma per ipotesi \( N \subset U \) ottenendo così un assurdo; analizzando il secondo caso avremo che $$(x \in N \wedge x \in M)) \to x \in N \cap M \to N \cap M \neq \emptyset$$ ma per ipotesi \( N \cap M = \emptyset\) ottenendo così un assurdo... allora l'implicazione $$N \cap M = \emptyset \to N \subset \complement^M_U$$ è vera, prova tu a fare/dimostrare il secondo verso, cioè $$(N \subset \complement^M_U \to N \cap M = \emptyset)$$
Saluti
P.S.=Correggimi se ho sbagliato a scrivere/capire le ipotesi...
tu hai $$N \cap M = \emptyset \leftrightarrow N \subset \complement^M_U$$ $$ A \subset B \leftrightarrow \complement^B_U \subset \complement^A_U $$ con \( U \) l'insieme universo tale che \( N,M,A,B \subset U \) e dato un insieme \( C \subset U \) con \( \complement^C_U \) intendo il complementare di \( C \) rispetto ad \( U \) (ovvero anche l'insieme differenza \( U-C \)). Passiamo a dimostrare la prima legge, ovvero $$N \cap M = \emptyset \leftrightarrow N \subset \complement^M_U$$ che sarebbe $$(N \cap M = \emptyset \to N \subset \complement^M_U) \wedge (N \subset \complement^M_U \to N \cap M = \emptyset)$$ ovviamente penso che \(\subset \) sia usato per indicare l'inclusione nel senso più largo del termine (o come si dice quella "impropria"), e nel dimostrare il primo verso, ovvero $$N \cap M = \emptyset \to N \subset \complement^M_U$$ si può procedere per assurdo avendo così che $$N \not\subset \complement^M_U$$ ergo $$\exists x \in N(x \notin \complement^M_U)$$ o equivalentemente $$\exists x \in N(x \notin U-M)$$ quindi $$x \in N \wedge (x \notin U \vee x \in M) $$ avendo così $$(x \in N \wedge x \notin U) \vee (x \in N \wedge x \in M)) $$ ora analizzando ambedue i casi avremo che $$(x \in N \wedge x \notin U) \to N \not\subset U $$ ma per ipotesi \( N \subset U \) ottenendo così un assurdo; analizzando il secondo caso avremo che $$(x \in N \wedge x \in M)) \to x \in N \cap M \to N \cap M \neq \emptyset$$ ma per ipotesi \( N \cap M = \emptyset\) ottenendo così un assurdo... allora l'implicazione $$N \cap M = \emptyset \to N \subset \complement^M_U$$ è vera, prova tu a fare/dimostrare il secondo verso, cioè $$(N \subset \complement^M_U \to N \cap M = \emptyset)$$
Saluti
P.S.=Correggimi se ho sbagliato a scrivere/capire le ipotesi...
credo di aver capito, grazie per l' aiuto!
@gvx,
figurati!
Saluti
"gvx":
credo di aver capito, grazie per l' aiuto!
figurati!
Saluti
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