Dimostrazione A=(A ⋂ B) ⋃ (A-B) per ogni B

[Vidocq]

Con A-B indico l'insieme differenza $ {x in A :\ x notinB} $.
Devo dimostrare le due inclusioni:
1)$(A nn B) uu (A-B) sube A$
2) $ A sube (A nn B)uu (A-B) $

Iniziamo da 1)
$ (A nn B)sube A $
$ (A - B)sube A $
Quindi
$(A nn B) uu (A-B) sube A$

Passiamo al punto 2)
Consideriamo un elemento $ x in A $
Se $ x in B rArr x in Ann B, \ x notin A-B $
Se $ x notin B rArr x notin Ann B, \ x in A-B $
Quindi $ x in (A nn B) uu (A-B) $
Poiché x e' un elemento qualsiasi di A allora $ A sube (A nn B) uu (A-B) $

Combinando le due relazioni di inclusioni, abbiamo l'uguaglianza.

Come vi sembra il ragionamento? Esiste un modo più semplice e/o elegante?

[Indrjo Dedej]

Prova considerando che\[A-B=A \cap \overline B\,,\]dove \(\overline\bullet\) è il complemento rispetto ad un fissato insieme che si assume come "universo".

[Vidocq]

E' sostanzialmente analogo, no?

Il ragionamento che ho scritto e' corretto?

[Indrjo Dedej]

Adesso che lo riguardo un po' meglio c'è qualcosa che non mi suona al punto 2. Non capisco cosa hai fatto.

Tornando al mio post precedente, io intendevo la possibilità di applicare la proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione, sono solo calcoli di natura algebrica (prova).

[Vidocq]

"Indrjo Dedej":Tornando al mio post precedente, io intendevo la possibilità di applicare la proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione, sono solo calcoli di natura algebrica (prova).

Adesso ho capito.Non l'ho esplicitato, ma intendevo risolvere il problema senza utilizzare le proprietà.

Per quanto riguarda il punto, mi pare di aver scritto a parole quello che tu hai (avevi) scritto in simboli.
Considero un elemento di A.
Se questo elemento appartiene anche a B allora $x in Ann B$
Se questo elemento non appartiene anche a B allora $x in A-B $.
Allora, preso un qualunque elemento x in A, abbiamo:
$ x in (A nn B) uu (A-B) $ da cui
$ A sube (A nn B) uu (A-B) $

[Indrjo Dedej]

Così è più chiaro. Va bene.

[Vidocq]