Dimostrazione
Buonasera a tutti. Scusatemi, avrei bisogno di un aiuto nella seguente dimostrazione:
“Dimostrare che, dati due numeri interi dispari $p$ e $q$, l’equazione
$x^2+2px+2q=0$
non ha soluzioni razionali” (Test ingresso SNS, a.a. 1971/72)
Io ho ragionato così: ho posto $p=2k-1$ e $q=2h+1$ (i più generali interi dispari); ora, l’equazione ha come soluzioni
$x_1=-p+sqrt(p^2-2q)$
$x_2=-p-sqrt(p^2-2q)$
Per dimostrare che $x_(1,2) notin QQ$ devo dimostrare che $p^2-2q$ è diverso da un $a^2$, cioè il radicando è mai un quadrato perfetto. Prima domanda: è giusto fin qua? Se sì, come posso procedere ora? C’è qualche cosa che mi sfugge?
Sviluppando il radicando con le condizioni che ho posto prima, ottengo (salvo errori di calcolo) $4k^2-4k-4h-1$. Come mai questo non può mai essere un quadrato perfetto?
Vi ringrazio in anticipo per l’aiuto che saprete darmi.
Paolo
“Dimostrare che, dati due numeri interi dispari $p$ e $q$, l’equazione
$x^2+2px+2q=0$
non ha soluzioni razionali” (Test ingresso SNS, a.a. 1971/72)
Io ho ragionato così: ho posto $p=2k-1$ e $q=2h+1$ (i più generali interi dispari); ora, l’equazione ha come soluzioni
$x_1=-p+sqrt(p^2-2q)$
$x_2=-p-sqrt(p^2-2q)$
Per dimostrare che $x_(1,2) notin QQ$ devo dimostrare che $p^2-2q$ è diverso da un $a^2$, cioè il radicando è mai un quadrato perfetto. Prima domanda: è giusto fin qua? Se sì, come posso procedere ora? C’è qualche cosa che mi sfugge?
Sviluppando il radicando con le condizioni che ho posto prima, ottengo (salvo errori di calcolo) $4k^2-4k-4h-1$. Come mai questo non può mai essere un quadrato perfetto?
Vi ringrazio in anticipo per l’aiuto che saprete darmi.
Paolo
Risposte
"Paolo90":
Per dimostrare che $x_(1,2) notin QQ$ devo dimostrare che $p^2-2q$ è diverso da un $a^2$, cioè il radicando è mai un quadrato perfetto. Prima domanda: è giusto fin qua?
Direi di no: devi dimostrare che non esistono due interi coprimi $m,n$ tali che $\sqrt{p^2 - 2q} = \frac{m}{n}$, cioè che quella radice non è un numero razionale se $p$ e $q$ sono interi dispari.
Dimostrazione frettolosa che sacrifica la sintassi e, temo, anche la logica. Ennesimo modo per dire di prenderla con pesanti pinze algebriche. Vale quello che ho appena detto: poche speranze che il ragionamento valga, ma per correttezza spoilerizzo.
Grazie mille Tipper per i chiarimenti e le delucidazioni.
Come al solito sei sempre illuminante.
Grazie
Paolo
Come al solito sei sempre illuminante.
Grazie
Paolo
Non voglio contraddire nessuno, ma credo che, dati $p, q \in mathbb{Z}$, il fatto $\sqrt{p^2 - 2q}=\frac{m}{n}$ con $m, n \in mathbb{Z} \ \wedge \ gcd(m,n)=1$ sia banalmente falso, a meno che non sia $n=1$.
Voglio dire che mostrare che non può aversi $\sqrt{p^2 - 2q}=\frac{m}{n}$ con $m, n in \mathbb{Z} \ \wedge \ gcd(m,n)=1$ è inutile ai fini del problema: se $a \in \mathbb{Z}$ allora certmante è $\sqrt{a} != \frac{m}{n}$, infatti, se così non fosse allora si avrebbe $a=\frac{m^2}{n^2} => n^2 | m^2 => n|m$ il che è in contraddizione col fatto che $m$ ed $n$ siano coprimi, a meno che non sia $n=1$ nel qual caso $\sqrt{a} != \frac{m}{n}$ si riduce a $\sqrt{a} != m$ che non è sempre vera.
Quindi si deve provare, relativamente al problema che $\sqrt{p^2 - 2q} != m, \forall m \in \mathbb{Z}$.
Ripartendo da $4k^2 - 4h - 4k - 1$ basta notare che questa espressione nella divisione per $4$ non da né resto $0$ né resto $1$ quindi non è un quadrato: si può infatti provare che vale $a \in \mathbb{Z} \ \mbox{è un quadrato} => a \equiv 4 (mod4) \ vv \ a \equiv 1 (mod4)$.
P.S.
Ok: adesso potete proporre il mio allontanamento dal forum.
Voglio dire che mostrare che non può aversi $\sqrt{p^2 - 2q}=\frac{m}{n}$ con $m, n in \mathbb{Z} \ \wedge \ gcd(m,n)=1$ è inutile ai fini del problema: se $a \in \mathbb{Z}$ allora certmante è $\sqrt{a} != \frac{m}{n}$, infatti, se così non fosse allora si avrebbe $a=\frac{m^2}{n^2} => n^2 | m^2 => n|m$ il che è in contraddizione col fatto che $m$ ed $n$ siano coprimi, a meno che non sia $n=1$ nel qual caso $\sqrt{a} != \frac{m}{n}$ si riduce a $\sqrt{a} != m$ che non è sempre vera.
Quindi si deve provare, relativamente al problema che $\sqrt{p^2 - 2q} != m, \forall m \in \mathbb{Z}$.
Ripartendo da $4k^2 - 4h - 4k - 1$ basta notare che questa espressione nella divisione per $4$ non da né resto $0$ né resto $1$ quindi non è un quadrato: si può infatti provare che vale $a \in \mathbb{Z} \ \mbox{è un quadrato} => a \equiv 4 (mod4) \ vv \ a \equiv 1 (mod4)$.
P.S.
Ok: adesso potete proporre il mio allontanamento dal forum.
"Wizard":
Ok: adesso potete proporre il mio allontanamento dal forum.
Stai pure tranquillo, c'è chi sta messo peggio, come il sottoscritto che viene a elemosinare una parola di chiarimento
Ti dici che $a$ è quadrato solo se è congruo a $0$ o $1$ modulo $4$.
Ti dispiace darmi un'indicazione su com'è la dimostrazione?
Grazie, a presto
Boh, credo sia perchè ogni numero, al quadrato, è congruo a $0$ o a $1$ in modulo $4$, e questo perchè $bar0,bar1,bar2,bar3$, in $ZZ//_(4z)$ al quadrato assumono ciclicamente i valori $bar0,bar1$. Non sono però se è una dimostrazione vera e propria...
Non sono però se è una dimostrazione vera e propria...
Lo è, si dimostra proprio così.
Inoltre con qualche piccola manipolazione, o volendo anche tramite una noiosa enumerazione, si fa vedere che il quadrato di ogni dispari è congruo ad $1$ $(mod 8)$ (appunto forse inutile, che ho messo solo perchè mi è capitato di trovare cose simili nel mezzo di qualche dimostrazione di TdN
.)
Va bene, grazie ad entrambi
Non ho detto che un intero $a$ è un quadrato solo se ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$, ma il contrario.
$5$ ha resto $1$ nella divisione per $4$ ma non è un quadrato (almeno non di un intero).
Però se $\alpha$ è un intero e $a$ ne è il quadrato, allora o è $1 = a (mod4)$ o è $0 = a (mod4)$.
Prova.
Se è $\alpha=2k$ allora è $a=\alpha^2=(2k)^2=4k^2 => 4|a$
Se è $\alpha=2k+1$ allora è $a=\alpha^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 => 1 = (4k^2+4k+1) (mod4)$
Poiché da un punto di vista logico la struttura $A => B$ equivale a $\not B => \not A$, essendo che $4k^2 - 4k - 4h - 1$ non ha né resto $0$ né resto $1$ se diviso per $4$, si conclude che $4k^2 - 4k - 4h - 1$ non è il quadrato di un intero.
Almeno questo è quello che ho pensato io.
P.S.
Con la scrittura $a=b (modc)$ voglio significare che $a$ è il resto della divisione di $b$ per $c$.
$5$ ha resto $1$ nella divisione per $4$ ma non è un quadrato (almeno non di un intero).
Però se $\alpha$ è un intero e $a$ ne è il quadrato, allora o è $1 = a (mod4)$ o è $0 = a (mod4)$.
Prova.
Se è $\alpha=2k$ allora è $a=\alpha^2=(2k)^2=4k^2 => 4|a$
Se è $\alpha=2k+1$ allora è $a=\alpha^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 => 1 = (4k^2+4k+1) (mod4)$
Poiché da un punto di vista logico la struttura $A => B$ equivale a $\not B => \not A$, essendo che $4k^2 - 4k - 4h - 1$ non ha né resto $0$ né resto $1$ se diviso per $4$, si conclude che $4k^2 - 4k - 4h - 1$ non è il quadrato di un intero.
Almeno questo è quello che ho pensato io.
P.S.
Con la scrittura $a=b (modc)$ voglio significare che $a$ è il resto della divisione di $b$ per $c$.
"WiZaRd":
Non ho detto che un intero $a$ è un quadrato solo se ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$, ma il contrario..
Cioe' che se un numero e' congruo a 1 o a 0 in modulo 4 allora e' un quadrato? mi sembra errato. Credo che la corretta implicazione sia $a$ e' quadrato $=> a=0,1 (mod 4)$, cioe'che sia congruo a 0 o 1 in mod 4 e' condizione necessaria affinche' $a$ sia un quadrato, ma ovviamente non sufficiente. Forse ho capito male il tuo post..
Steven ha detto:
Io ho detto:
Le parti in grassetto nei due messaggi che ho quotato sono la stessa frase.
Dire $a$ è un quadrato solo se è congruo $0$ o $1$ modulo $4$, oppure dire $a$ è un quadrato solo se ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$ significa dire
(*) se $a$ ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$ allora è un quadrato
o, peggio ancora,
(**) $a$ è un quadrato se, e solo se, nella divisione per $4$ ha resto $1$ o $0$ (se si tiene conto del solo presente nei due post).
Quando ho lasciato il mio ultimo post stanotte stavo pensando alla (*), ragion per cui ho scritto che non avevo detto la (*) ma il contrario, cioè
(***) se $a$ è il quadrato di un intero allora il suo resto nella divisione per $4$ è o $1$ o $0$ (e, infatti, ho aggiunto il controesempio alla (*), così come alla (**), del $5$).
Di questa affermazione sia io che te ne abbiamo data la prova.
In virtù di (***) bisogna convenire che se un intero non ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$ allora esso non è un quadrato (e ho scritto, sempre nel mio ultimo post, che questo accade perché, formalmente, $A => B \equiv \notB => \notA$).
Notato che l'espressione sotto radice alla quale Paolo90 era pervenuto non poteva avere resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$, stando la condizione che $p$ e $q$ sono dispari, bisogna convenire che quella espressione non è un quadrato, quindi la sua radice non è un intero, ma un irrazionale, e quindi la tesi.
Non so se sono riuscito a renderti il mio modo contorto di vedere la situazione.
"Steven":
Ti dici che $a$ è quadrato solo se è congruo a $0$ o $1$ modulo $4$.
Io ho detto:
"WiZaRd":
Non ho detto che un intero $a$ è un quadrato solo se ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$, ma il contrario
Le parti in grassetto nei due messaggi che ho quotato sono la stessa frase.
Dire $a$ è un quadrato solo se è congruo $0$ o $1$ modulo $4$, oppure dire $a$ è un quadrato solo se ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$ significa dire
(*) se $a$ ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$ allora è un quadrato
o, peggio ancora,
(**) $a$ è un quadrato se, e solo se, nella divisione per $4$ ha resto $1$ o $0$ (se si tiene conto del solo presente nei due post).
Quando ho lasciato il mio ultimo post stanotte stavo pensando alla (*), ragion per cui ho scritto che non avevo detto la (*) ma il contrario, cioè
(***) se $a$ è il quadrato di un intero allora il suo resto nella divisione per $4$ è o $1$ o $0$ (e, infatti, ho aggiunto il controesempio alla (*), così come alla (**), del $5$).
Di questa affermazione sia io che te ne abbiamo data la prova.
In virtù di (***) bisogna convenire che se un intero non ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$ allora esso non è un quadrato (e ho scritto, sempre nel mio ultimo post, che questo accade perché, formalmente, $A => B \equiv \notB => \notA$).
Notato che l'espressione sotto radice alla quale Paolo90 era pervenuto non poteva avere resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$, stando la condizione che $p$ e $q$ sono dispari, bisogna convenire che quella espressione non è un quadrato, quindi la sua radice non è un intero, ma un irrazionale, e quindi la tesi.
Non so se sono riuscito a renderti il mio modo contorto di vedere la situazione.
ok si ho capito...Comunque abbiamo appurato che essere congruo a 0 o a 1 mod 4 è condizione necssaria perchè a sia un quadrato. saluti
"WiZaRd":
Dire $a$ è un quadrato solo se è congruo $0$ o $1$ modulo $4$, oppure dire $a$ è un quadrato solo se ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$ significa dire
(*) se $a$ ha resto $0$ o $1$ nella divisione per $4$ allora è un quadrato
Per quanto può valere, non sono d'accordo. Il "solo se" tradizionalmente in matematica introduce una condizione necessaria. Per esempio:
(a) 1=0 solo se 1=1
è una proposizione vera. Invece il "se" introduce una condizione sufficiente:
(b) 1=0 se 1=1
è falsa;
(c) $a^2=4$ se a=-2
è vera.
Le ambiguità poi nascono da questioni di tipo linguistico.
Ecco, era per dare il mio parere
Ciao.
Per questo mi piacciono i simboli matematici: quello dicono e quello è.
Mannaggia la lingua....
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