Dimostrare Transitivita' Di Una Relazione

[M.C.D.1]

Ragazzi ho difficolta' nel dimostrare la seguente equivalenza:

Siano Dati un insieme A ed un'applicazione $f: A -> A$. Si Definisca una relazione $R$ su A ponendo:
$aRb <=> f(a)=b$ con $a,b \in A$

Dimostrare che:

$R$ transitiva $<=> f o f=f$

cioe' f composto f = f ^^

[Injo]

Non ne sono totalmente sicuro ma credo sia percorribile questa strada:

Se $R$ è transitiva, allora se $aRb$ e $bRc$ si ha che $aRc$. Nello specifico consideriamo $f(a)=b$ e $f(b)=c$ e supponiamo che $f(a)=c$. Ma noi sappiamo anche che $c = f(b) = f(f(a))$ per ipotesi e quindi $f(a) = f(f(a)) \forall a \in A$.

Viceversa, se supponiamo $f(f(a)) = f(a) \forall a\in A$ per ipotesi, allora si ha che se definiamo $f(a)=b$ (*) e $f(b)=c$ otteniamo che $f(b) = b$ e quindi $c = b$. Ma allora dall'ipotesi (*) viene che $f(a)=c$, ovvero dati $aRb$ e $bRc$ abbiamo trovato che $aRc$ come volevasi dimostrare.