Dimostrare se un gruppo è ciclico

[sapie1]

Salve a tutti ho un piccolo problema con i gruppi ciclici cioè ho capito la definizione ma so fare gli esercizi qualcuno può darmi una mano? Allora io ho questo esercizio
sia C121 il gruppo delle radici dell 'unita dimostrare che e'ciclico e determinare un suo generatore infine trovare tutti i sottogruppi di C121
allora i suoi generetori e i sottogruppi li so trovare ma so come devo fare per dimostrarlo qualche suggerimento?
la Definizione è: Un gruppo G si dice ciclico se esiste un elemento g appartiene a G tale che G `e il
sottogruppo generato da g; cio`e
G =< g >= { g^z | z appartiene Z } .
In tal caso, g si dice un generatore di G.

[sapie1]

allora io ho anche un esercizio svolto ma non riesco a capirlo:
Utilizzando la formula di Moivre si ottiene
$ C_n={ a_k=cos (2kpi)/n +isen(2kpi)/n | k in { 0,1,...,n-1 } } $
Si noti ce se k_1 e k_2 sono tali che a_k1=a_k2 allora $ (2(k_1)pi)/n =(2(k_2)pi)/n +2hpi con h in Z $
sicchè $ k_1 -= k_2 (mod n) $
da ciò si ottiene che $ |C_n|=n $ . E chiaro che $ a_k=(a_1)^k $ e cosi
$ C_n=( a_1 ) $ (generatore) è ciclico.
Scusate l'ignoranza ma nn l'ho capito.
Qualcuno puo spiegarmelo.
Grazie.

[sapie1]

Ho letto che $ C_n={z in C | z^n=1} $ e quindi per il teorema fondamentale dell algebra $ |C_n|=n $ e per il corollario
"Sia K un campo e sia G un sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo K×.
Allora G `e ciclico." C_n è ciclico è giusto?

[menale1]

Però devi stare attento perché se ad esempio ti consideri $ C_oo $ che è l'unione di tutti i gruppi delle radici ennesime dell'unità al variare di $ n in NN $ , questo non è ciclico ma localmente ciclico !