Dimostrare le seguenti proprietà: riflessiva, simmetrica...
Scusatemi, spero di essere breve. Sto cercando di assimiliare i concetti base ( pur essendo all'Università). Nonostante tutto, ancora non riesco a svolgere le dimostrazioni. Ad esempio: mi si chiede di dimostrare che l'uguaglianza tra numeri ( reali) gode delle proprietà:
simmetrica
transitiva
riflessiva ( pensavo alla legge di cancellazione)
(unica che riesco a dimostrare è la transitiva)
oppure di dimostrare, per x,y appartententi ai numeri razionali, che l'uguaglianza come numeri reali <-> uguaglianza numeri razionali.
Cose che per voi saranno banali, ma che in me costituiscono un blocco da superare. Sono pronto a capire ogni vostra parola, sperando d riuscirv al primo tentativo e non dopo vari.
grazie, alex
simmetrica
transitiva
riflessiva ( pensavo alla legge di cancellazione)
(unica che riesco a dimostrare è la transitiva)
oppure di dimostrare, per x,y appartententi ai numeri razionali, che l'uguaglianza come numeri reali <-> uguaglianza numeri razionali.
Cose che per voi saranno banali, ma che in me costituiscono un blocco da superare. Sono pronto a capire ogni vostra parola, sperando d riuscirv al primo tentativo e non dopo vari.
grazie, alex
Risposte
una relazione R è riflessiva se ogni elemento è in relazione con se stesso:
dunque è vero che per ogni numero reale x vale la relazione x=x ?
una relazione è simmetrica se per ogni coppia di elementi, x,y, se è vero che x è in relazione con y allora deve essere vero anche che y è in relazione con x:
dunque, per ogni coppia di numeri reali x,y, se x=y è vero anche y=x ?
a questo punto diciamo anche la transitiva: per ogni terna di elementi, se xRy e yRz allora deve risultare che xRz:
è vero che per ogni terna di numeri reali se sai che x=y e che y=z tu puoi affermare che x=z ?
riflessiva+simmetrica+transitiva=equivalenza
ciao.
dunque è vero che per ogni numero reale x vale la relazione x=x ?
una relazione è simmetrica se per ogni coppia di elementi, x,y, se è vero che x è in relazione con y allora deve essere vero anche che y è in relazione con x:
dunque, per ogni coppia di numeri reali x,y, se x=y è vero anche y=x ?
a questo punto diciamo anche la transitiva: per ogni terna di elementi, se xRy e yRz allora deve risultare che xRz:
è vero che per ogni terna di numeri reali se sai che x=y e che y=z tu puoi affermare che x=z ?
riflessiva+simmetrica+transitiva=equivalenza
ciao.
"adaBTTLS":
una relazione R è riflessiva se ogni elemento è in relazione con se stesso:
dunque è vero che per ogni numero reale x vale la relazione x=x ?
una relazione è simmetrica se per ogni coppia di elementi, x,y, se è vero che x è in relazione con y allora deve essere vero anche che y è in relazione con x:
dunque, per ogni coppia di numeri reali x,y, se x=y è vero anche y=x ?
a questo punto diciamo anche la transitiva: per ogni terna di elementi, se xRy e yRz allora deve risultare che xRz:
è vero che per ogni terna di numeri reali se sai che x=y e che y=z tu puoi affermare che x=z ?
riflessiva+simmetrica+transitiva=equivalenza
ciao.
ricordavo le definizioni. nella dimostrazione credevo occorresse ricorrere alla legge di cancellazione ( ricordavo di aver fatto qualcosa di simile in geometria).
senza aprire un altro topic, volevo chiedere una cosa: come faccio a dimostrare che l'equazione x^2=3 non ammette soluzione in Q?
su wikipedia ho trovato un esempio che mi dà conferma che non esiste ( devo esser sincero, trovo tuttora delle difficoltà nel dimostrare l'incommensurabilità di sqrt2.
è lo stesso procedimento che si usa per verificare l'irrazionalità di radice di due, o in questo caso di radice di 3:
si fa riferimento al teorema fondamentale dell'aritmetica (esistenza e unicità della scomposizione in fattori primi di un numero).
supponiamo per assurdo che esista un numero razionale x che verifichi tale equazione.
scriviamo $x=m/n , m,n " interi " , n!=0$,
penso si possa considerare m,n naturali, senza perdere in generalità. supponiamo MCD(m,n)=1, cioè la frazione ridotta ai minimi termini.
dall'ipotesi dell'assurdo, segue $m^2=3*n^2$
a questo punto dobbiamo ragionare sulle scomposizioni in fattori primi di m ed n: possono contenere oppure no il 3 tra i fattori.
i loro quadrati, scomposti in fattori primi, presentano gli stessi fattori delle basi rispettive, con esponente doppio.
ad esempio $24=2^3*3 -> 24^2=2^6*3^2$
quindi se m non è multiplo di 3, non lo è neppure m^2. se m è multiplo di 3, m^2 contiene il fattore 3 un numero pari di volte.
ma il secondo membro contiene il fattore 3 un numero dispari di volte, perché c'è il 3 che moltiplica n^2 (e su n^2 si possono ripetere gli stessi ragionamenti fatti per m^2).
dunque nell'uguaglianza $m^2=3*n^2$ il fattore 3 al primo membro o è assente o è presente un numero pari di volte, mentre al secondo membro è presente un numero dispari di volte. assurdo.
spero sia chiaro.
quanto all'incommensurabilità, come dice il termine composto, non ha senso dire che radice di due è incommensurabile: si presuppone un confronto tra due misure: due segmenti sono incommensurabili se il loro rapporto è un numero irrazionale (come ad esempio la diagonale e il lato di un quadrato, il cui rapporto è radice di due; l'altezza di un triangolo equilatero ed il lato sono incommensurabili perché il loro rapporto è $sqrt(3)/2$).
ciao.
si fa riferimento al teorema fondamentale dell'aritmetica (esistenza e unicità della scomposizione in fattori primi di un numero).
supponiamo per assurdo che esista un numero razionale x che verifichi tale equazione.
scriviamo $x=m/n , m,n " interi " , n!=0$,
penso si possa considerare m,n naturali, senza perdere in generalità. supponiamo MCD(m,n)=1, cioè la frazione ridotta ai minimi termini.
dall'ipotesi dell'assurdo, segue $m^2=3*n^2$
a questo punto dobbiamo ragionare sulle scomposizioni in fattori primi di m ed n: possono contenere oppure no il 3 tra i fattori.
i loro quadrati, scomposti in fattori primi, presentano gli stessi fattori delle basi rispettive, con esponente doppio.
ad esempio $24=2^3*3 -> 24^2=2^6*3^2$
quindi se m non è multiplo di 3, non lo è neppure m^2. se m è multiplo di 3, m^2 contiene il fattore 3 un numero pari di volte.
ma il secondo membro contiene il fattore 3 un numero dispari di volte, perché c'è il 3 che moltiplica n^2 (e su n^2 si possono ripetere gli stessi ragionamenti fatti per m^2).
dunque nell'uguaglianza $m^2=3*n^2$ il fattore 3 al primo membro o è assente o è presente un numero pari di volte, mentre al secondo membro è presente un numero dispari di volte. assurdo.
spero sia chiaro.
quanto all'incommensurabilità, come dice il termine composto, non ha senso dire che radice di due è incommensurabile: si presuppone un confronto tra due misure: due segmenti sono incommensurabili se il loro rapporto è un numero irrazionale (come ad esempio la diagonale e il lato di un quadrato, il cui rapporto è radice di due; l'altezza di un triangolo equilatero ed il lato sono incommensurabili perché il loro rapporto è $sqrt(3)/2$).
ciao.
"adaBTTLS":
è lo stesso procedimento che si usa per verificare l'irrazionalità di radice di due, o in questo caso di radice di 3:
si fa riferimento al teorema fondamentale dell'aritmetica (esistenza e unicità della scomposizione in fattori primi di un numero).
supponiamo per assurdo che esista un numero razionale x che verifichi tale equazione.
scriviamo $x=m/n , m,n " interi " , n!=0$,
penso si possa considerare m,n naturali, senza perdere in generalità. supponiamo MCD(m,n)=1, cioè la frazione ridotta ai minimi termini.
dall'ipotesi dell'assurdo, segue $m^2=3*n^2$
a questo punto dobbiamo ragionare sulle scomposizioni in fattori primi di m ed n: possono contenere oppure no il 3 tra i fattori.
i loro quadrati, scomposti in fattori primi, presentano gli stessi fattori delle basi rispettive, con esponente doppio.
ad esempio $24=2^3*3 -> 24^2=2^6*3^2$
quindi se m non è multiplo di 3, non lo è neppure m^2. se m è multiplo di 3, m^2 contiene il fattore 3 un numero pari di volte.
ma il secondo membro contiene il fattore 3 un numero dispari di volte, perché c'è il 3 che moltiplica n^2 (e su n^2 si possono ripetere gli stessi ragionamenti fatti per m^2).
dunque nell'uguaglianza $m^2=3*n^2$ il fattore 3 al primo membro o è assente o è presente un numero pari di volte, mentre al secondo membro è presente un numero dispari di volte. assurdo.
spero sia chiaro.
quanto all'incommensurabilità, come dice il termine composto, non ha senso dire che radice di due è incommensurabile: si presuppone un confronto tra due misure: due segmenti sono incommensurabili se il loro rapporto è un numero irrazionale (come ad esempio la diagonale e il lato di un quadrato, il cui rapporto è radice di due; l'altezza di un triangolo equilatero ed il lato sono incommensurabili perché il loro rapporto è $sqrt(3)/2$).
ciao.
splendidamente chiaro. ho provato ad applicare questo ragionamento ad un esercizio analogo. grazie ancora, ada.
prego!
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