Dimostrare la suriettività di una funzione

[misconosciuto]

Ciao a tutti,
Ho dei seri problemi nel dimostrare quando una funzione é o non é suriettiva.
Ad esempio :

"Verificare se la funzione f:N-->Z definita da $ f(x)=2x-6 $ é suriettiva "

Da ciò che ho capito dalla definizione questa non é suriettiva, giusto?

Ma come faccio a dimostrarlo? Senza l'utilizzo di grafici o funzioni inverse (dobbiamo ancora farle nel corso di Matematica Discreta) .

Grazie!

[Lorin1]

Qual è la definizione di funzione suriettiva?!

[misconosciuto]

$ AA a in A EE ! b in B $ tale che $ (a,b) in f $

Giusto?

[Lorin1]

Questa è la biettiva.

$AAy inZZ, EEx in NN : y=f(x)$ Questa è la definizione più generale. Prova a partire da questa.

[misconosciuto]

"Lorin":Questa è la biettiva.

$AAy inZZ, EEx in NN : y=f(x)$ Questa è la definizione più generale. Prova a partire da questa.

Grazie!
Quindi devo porre $ y=2x-6 $ e la risolvo rispetto a $ x $ ?
Quindi $x= (y+6)/2 ?
E ora?

[Lorin1]

Dovresti in sostanza provare che comunque prendi un numero intero relativo della forma $2x-6$ esiste un naturale $x$ tale che $f(x)=2x-6$.

Ad esempio se $x=1 => f(1)=-4$ esso appartiene a $ZZ$? Si allora va bene. Poi fai lo stesso con gli altri naturali. Devi cercare di capire se vale quell'associazione. Non so se è chiaro...

[gundamrx91-votailprof]

non conviene "calcolare" la $x$ perche' a seconda del valore assegnato alla $y$ puoi non ottenere un numero naturale (ricordati la definiziona di numero naturale...)

[misconosciuto]

"Lorin":Dovresti in sostanza provare che comunque prendi un numero intero relativo della forma $2x-6$ esiste un naturale $x$ tale che $f(x)=2x-6$.

Ad esempio se $x=1 => f(1)=-4$ esso appartiene a $ZZ$? Si allora va bene. Poi fai lo stesso con gli altri naturali. Devi cercare di capire se vale quell'associazione. Non so se è chiaro...

Ok quindi questa funzione é suriettiva!
Cioè risolvo rispetto a x e vedo se y può assumere qualsiasi valore del suo dominio, giusto?
Giusto?

[gundamrx91-votailprof]

secondo me non e' suriettiva..... una funzione e' suriettiva quando ogni elemento del codominio ha almeno una controimmagine nel dominio.
L'elemento $-12$ del codominio (che e' l'insieme $ZZ$) mi porterebbe all'elemento $-3$ del dominio (questo se usiamo la tua relazione $x=(y+6)/2)$, ma che non puo'
essere in quanto il dominio e' l'insieme dei numeri naturali $NN$, che per definizione sono solo positivi.... o sbaglio?

[krek1]

Non è suriettiva.
Puoi vedere che $f(x)

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[misconosciuto]

Scusate, penso proprio di non aver capito niente.
Ripartiamo dalla definizione:
$ AAy in Z , EEx in NN : y = f(x) $

Ora come faccio a vedere se é suriettiva e dimostrarlo per tutti i valori che può assumere x?

[gundamrx91-votailprof]

"misconosciuto":Scusate, penso proprio di non aver capito niente.
Ripartiamo dalla definizione:
$ AAy in Z , EEx in NN : y = f(x) $

Ora come faccio a vedere se é suriettiva e dimostrarlo per tutti i valori che può assumere x?

Allora, la definizione dice che per ogni elemento $y$ che appartiene a $ZZ$ esiste un elemento $x$, che appartiene ad $NN$, tale che sia verificata la relazione $y=f(x)$ qualsiasi cosa sia questa relazione.
Essendo $ZZ$ il codominio della tua funzione, per la natura stessa di $ZZ$, la funzione ti puo' restituire un qualsiasi valore, negativo o positivo, in funzione della relazione indicata. Il problema pero' e' che il dominio della tua funzione e' $NN$, che per definizione contiene solo numeri positivi, quindi se la tua funzione restituisce (fai qualche prova...) un numero negativo sei "fregato" perche' non hai la relativa controimmagine nel dominio, e di conseguenza la funzione non puo' essere suriettiva (ogni elemento del codominio deve avere almeno una controimmagine nel dominio).

Con la speranza di non aver scritto delle fesserie.... e di essere stato chiaro

[misconosciuto]

"GundamRX91":[quote="misconosciuto"]Scusate, penso proprio di non aver capito niente.
Ripartiamo dalla definizione:
$ AAy in Z , EEx in NN : y = f(x) $

Ora come faccio a vedere se é suriettiva e dimostrarlo per tutti i valori che può assumere x?

Allora, la definizione dice che per ogni elemento $y$ che appartiene a $ZZ$ esiste un elemento $x$, che appartiene ad $NN$, tale che sia verificata la relazione $y=f(x)$ qualsiasi cosa sia questa relazione.
Essendo $ZZ$ il codominio della tua funzione, per la natura stessa di $ZZ$, la funzione ti puo' restituire un qualsiasi valore, negativo o positivo, in funzione della relazione indicata. Il problema pero' e' che il dominio della tua funzione e' $NN$, che per definizione contiene solo numeri positivi, quindi se la tua funzione restituisce (fai qualche prova...) un numero negativo sei "fregato" perche' non hai la relativa controimmagine nel dominio, e di conseguenza la funzione non puo' essere suriettiva (ogni elemento del codominio deve avere almeno una controimmagine nel dominio).

Con la speranza di non aver scritto delle fesserie.... e di essere stato chiaro [/quote]

Ok, quindi con $ x=1 $ $ f(x) = -4 $ . Di conseguenza la funzione non é suriettiva.

[gundamrx91-votailprof]

Quello che hai scritto e' corretto, intanto perche' $-4 in ZZ$, ma questo non dimostra che la funzione e' suriettiva; e se invece $f(x)$ fosse uguale a $-3$, $x$ a cosa corrisponderebbe nell'ambito di $NN$?

[misconosciuto]

"GundamRX91":Quello che hai scritto e' corretto, intanto perche' $-4 in ZZ$, ma questo non dimostra che la funzione e' suriettiva; e se invece $f(x)$ fosse uguale a $-3$, $x$ a cosa corrisponderebbe nell'ambito di $NN$?

$ x= 3/2 x !in N $ Giusto? La funzione non é suriettiva.
Ma come faccio a dimostrare che é / non é suriettiva senza provare dei numeri a caso?

[gundamrx91-votailprof]

Si e' esatto.
Per la dimostrazione bisogna ragionarci di volta in volta, analizzando il dominio e il codominio della funzione, e poi la funzione stessa; piu' che numeri a caso io provo dei numeri mirati che penso possano rappresentare ogni casistica, come nel caso dell'esercizio che hai proposto, poi se il metodo e' valido o no questo, da studente quale io sono, lo devo ancora scoprire/capire

[krek1]

Detta molto veloce.

Puoi dimostrare, come ti avevo già consigliato, che $f(n)<=f(n+1)$; quindi hai che al piu piccolo $n$ corrisponde il più piccolo $f(n)$ e vedi che non ci sono $f(n)$ piu piccoli di $f(0)$, ma $f(0)$ non è il più piccolo elemento del codominio.

[misconosciuto]

"krek":Detta molto veloce.

Puoi dimostrare, come ti avevo già consigliato, che $f(n)<=f(n+1)$; quindi hai che al piu piccolo $n$ corrisponde il più piccolo $f(n)$ e vedi che non ci sono $f(n)$ piu piccoli di $f(0)$, ma $f(0)$ non è il più piccolo elemento del codominio.

Giusto, ora ho capito cosa intendevi.
Ciò funziona con tutte le funzioni?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao!

Nel tuo caso:

"misconosciuto":$f:NN \to ZZ$, $ f(x)=2x-6 $

puoi osservare semplicemente che gli interi della forma [tex]2x-6[/tex] sono tutti pari, mentre non tutti gli interi sono pari. Quindi [tex]f[/tex] non e' suriettiva.

Non c'e' una regola generale per decidere in generale se una funzione e' suriettiva. Voglio dire che verificare la suriettivita' di una funzione puo' benissimo essere un problema difficilissimo. In realta' credo che la nozione di suriettivita' sia talmente naturale che ogni problema della matematica si possa ricondurre a domandarsi se una certa funzione e' suriettiva.

Ti faccio un esempio: il teorema fondamentale dell'algebra dice semplicemente che i polinomi sono suriettivi. Piu' precisamente, dice che dato un polinomio [tex]P(x) \in \mathbb{C}[X][/tex], la funzione [tex]P:\mathbb{C} \to \mathbb{C}[/tex] che manda [tex]z[/tex] in [tex]P(z)[/tex] e' suriettiva. Infatti chiedere che il numero complesso [tex]w[/tex] stia nell'immagine di [tex]P[/tex] significa chiedere che il polinomio [tex]P(x)-w[/tex] abbia uno zero complesso. Per farla breve la suriettivita' delle funzioni polinomiali complesse non e' banale (perche' il teorema fondamentale dell'algebra non e' banale).

[misconosciuto]

Ok , penso di aver capito.
Proviamo con un'altro esempio:
$ f: Z rarr Z $
$ f(n)=n+1 $

La funzione é iniettiva perché :

$ AA nAA n' in Z , f(n)=f(n') -> n=n' $
$ n+1 = n'+1 $
$ n=n' $

Inoltre é anche suriettiva.

Corretto?

[krek1]

La suriettivita viene spesso "trascurata" nel senso che nessuno ci fa caso fin che no gli viene chiesto qualcosa che la riguarda.
...

A mio parere l'abitudine a trattare le funzioni senza specificare tutte le volte il dominio e il codominio porta a non capire bene quando una funzione è suriettiva.

la funzione che hai $f(x)=2x-6$, se non si specifica qual'è il dominio e il codominio di solito si tratta come $f(x):RR->RR$.

il fatto che la $f(x)$ sia suriettiva è strettamente legato al codominio che comunque deve contenere l'immagine della funzione.

Una funzione è definità correttamente quando si specifica il dominio e il codominio, quando questo non viene fatto, si da per scontato che $f(x)$ sia sempre la stessa funzione e soprattutto sempre usando un termine poco formale si pensa che $f(x)$ sia sempre la stessa "cosa".

Una domanda come : $f(x): x^2$ è iniittiva e/o suriettiva ? Non ha una risposta se non dici qual'è il dominio e il codominio.

Se però dico:

$f(x)=x^2$ con $f(x):ZZ->NN$ allora $f(x)$ non è suriettiva e non è iniettiva.

infatti $f(-2)=f(2)$ e non esiste $x$ tale che $f(x)=5$;
---
$f(x)=x^2$ con $f(x):NN->RR$ allora $f(x)$ è iniettiva ma non è suriettiva.

ad ogni numero intero "associa" il suo quadrato intero, ma $RR$ non contiene solo interi.
---
$f(x)=x^2$ con $f(x):RR^+->RR^+$ allora $f(x)$ è iniettiva e suriettiva

a ogni reale associo il suo quadrato, e ogni quadrato a una sola radice nel dominio $RR^+$.
---
$f(x)=x^2$ con $f(x):RR->RR$ allora $f(x)$ non è iniettiva e non è suriettiva

perchè $f(-3)=f(3)$ e non esiste un $x$ il cui quadrato sia un numero negativo.
---

Il $"Codominio"$ deve contenere $f("Dominio")$, ma la funzione è suriettiva solo se il Codominio conicide con $f("Dominio")$.

---

In pratica partendo da $f("Dominio") \subseteq "Codominio"$ se ho anche $"Codominio" \subseteq "f(Dominio)"$ allora la funzione è suriettiva.


Per evitare equivoci: $f("Dominio")={yin"Codominio": \exists x in "Dominio" " tale che " y=f(x)}$
che è l'immagine del Dominio tramite f

(
in modo + formale:

Sia $f(x)$ una funzione, $f(x):A->B$

$f(A)={yinB: \exists x in A " tale che " y=f(x)}$ che si chiama l'immagine di $A$ tramite $f$

Si vede subito che $f(A) \subseteq B$.
)


Concludendo:

In parole povere (ma povere povere) se fai vedere che il codominio $B$ è più "grande" di $f(A)$ (intendo come $f(A)\subset B$), la funzione non può essere suriettiva, se invece $f(A)=B$ allora la funzione è suriettiva.
La difficoltà nel fare ciò varia da caso a caso.

Naturalmente puoi scegliere un dominio per cui la funzione è suriettiva e/o iniettiva (evitando naturalmente la soluzione con Dominio e Codominio singoletti), per esempio lo si fa con le funzioni trigonometriche.