Dimostrare la suriettività di una funzione
Ciao a tutti,
Ho dei seri problemi nel dimostrare quando una funzione é o non é suriettiva.
Ad esempio :
"Verificare se la funzione f:N-->Z definita da $ f(x)=2x-6 $ é suriettiva "
Da ciò che ho capito dalla definizione questa non é suriettiva, giusto?
Ma come faccio a dimostrarlo? Senza l'utilizzo di grafici o funzioni inverse (dobbiamo ancora farle nel corso di Matematica Discreta) .
Grazie!
Ho dei seri problemi nel dimostrare quando una funzione é o non é suriettiva.
Ad esempio :
"Verificare se la funzione f:N-->Z definita da $ f(x)=2x-6 $ é suriettiva "
Da ciò che ho capito dalla definizione questa non é suriettiva, giusto?
Ma come faccio a dimostrarlo? Senza l'utilizzo di grafici o funzioni inverse (dobbiamo ancora farle nel corso di Matematica Discreta) .
Grazie!
Risposte
Chiarissimo..stavo per postare una domanda simile ma ho trovato questo topic....detto ciò, perchè mi si chiede di calcolare $g^-1 ({5,9})$ data $g(x):ZZ->QQ = 2x + 1$....come procedo? g(x) è iniettiva ma non è surgettiva
$g(x)$ è iniettiva
quindi ogni elemento di $g(ZZ)$ è associato a un solo elemento di $ZZ$
$g(ZZ)\subset QQ$
Quindi puoi $g^-1:g(ZZ)->ZZ$ è la funzione inversa di g.
Puoi effettivamente scrivere
x=....
e calcolando per $y=5$ e $y=9$ e poi verifica che i risultati appartengono a $ZZ$
(P.S. ho scritto di fretta che devo spostare la macchiana ciao )
quindi ogni elemento di $g(ZZ)$ è associato a un solo elemento di $ZZ$
$g(ZZ)\subset QQ$
Quindi puoi $g^-1:g(ZZ)->ZZ$ è la funzione inversa di g.
Puoi effettivamente scrivere
x=....
e calcolando per $y=5$ e $y=9$ e poi verifica che i risultati appartengono a $ZZ$
(P.S. ho scritto di fretta che devo spostare la macchiana ciao )
"krek":
$g(x)$ è iniettiva
quindi ogni elemento di $g(ZZ)$ è associato a un solo elemento di $ZZ$
$g(ZZ)\subset QQ$
Quindi puoi $g^-1:g(ZZ)->ZZ$ è la funzione inversa di g.
Puoi effettivamente scrivere
x=....
e calcolando per $y=5$ e $y=9$ e poi verifica che i risultati appartengono a $ZZ$
(P.S. ho scritto di fretta che devo spostare la macchiana ciao )
ok, grazie...io per vedere se la f è suriettiva, non credevo che bastasse dimostrare che, data l'ingettività, $g(ZZ) \subset QQ$
in genere sfruttando la definizione $AA y in QQ: x = (y-1) / 2$ che non è in $ZZ$, per questo pensavo che non fosse suriettiva, ma evidentemente sbagliavo. quindi in genere, se una funzione è ingettiva, se $f(A) \subset B$ è anche surgettiva. Ora, se non è iniettiva vale la stessa condizione? come posso procedere?
Mi sa che non ci siamo capiti 
$g(ZZ)$ è un sottoinsieme proprio di $QQ$, cioè esiste almeno un elemento in $QQ$ che non è contenuto in $g(ZZ)$.
Quindi esistono elementi di $QQ$ che non sono immagini di elementi di $ZZ$, per esempio $2 in QQ$
non è immagine di un elemento di $ZZ$ tramite $g$.
Quindi la funzione non è suriettiva.
Ma il fatto che $g(x)$ sia iniettiva ti consente di definire la funzione inversa.
$g(ZZ)$ è un sottoinsieme proprio di $QQ$, cioè esiste almeno un elemento in $QQ$ che non è contenuto in $g(ZZ)$.
Quindi esistono elementi di $QQ$ che non sono immagini di elementi di $ZZ$, per esempio $2 in QQ$
non è immagine di un elemento di $ZZ$ tramite $g$.
Quindi la funzione non è suriettiva.
Ma il fatto che $g(x)$ sia iniettiva ti consente di definire la funzione inversa.
"Martino":puoi osservare semplicemente che gli interi della forma [tex]2x-6[/tex] sono tutti pari, mentre non tutti gli interi sono pari. Quindi [tex]f[/tex] non e' suriettiva.
Ciao!
Nel tuo caso:[quote="misconosciuto"]$f:NN \to ZZ$, $ f(x)=2x-6 $
Non c'e' una regola generale per decidere in generale se una funzione e' suriettiva. Voglio dire che verificare la suriettivita' di una funzione puo' benissimo essere un problema difficilissimo. In realta' credo che la nozione di suriettivita' sia talmente naturale che ogni problema della matematica si possa ricondurre a domandarsi se una certa funzione e' suriettiva.
Ti faccio un esempio: il teorema fondamentale dell'algebra dice semplicemente che i polinomi sono suriettivi. Piu' precisamente, dice che dato un polinomio [tex]P(x) \in \mathbb{C}[X][/tex], la funzione [tex]P:\mathbb{C} \to \mathbb{C}[/tex] che manda [tex]z[/tex] in [tex]P(z)[/tex] e' suriettiva. Infatti chiedere che il numero complesso [tex]w[/tex] stia nell'immagine di [tex]P[/tex] significa chiedere che il polinomio [tex]P(x)-w[/tex] abbia uno zero complesso. Per farla breve la suriettivita' delle funzioni polinomiali complesse non e' banale (perche' il teorema fondamentale dell'algebra non e' banale).[/quote]
Non c'entra nulla con il problema del topic, ma volevo sottolineare la bellezza e la chiarezza di questa esposizione. Complimenti!
"krek":
Mi sa che non ci siamo capiti
$g(ZZ)$ è un sottoinsieme proprio di $QQ$, cioè esiste almeno un elemento in $QQ$ che non è contenuto in $g(ZZ)$.
Quindi esistono elementi di $QQ$ che non sono immagini di elementi di $ZZ$, per esempio $2 in QQ$
non è immagine di un elemento di $ZZ$ tramite $g$.
Quindi la funzione non è suriettiva.
Ma il fatto che $g(x)$ sia iniettiva ti consente di definire la funzione inversa.
ma g non è invertibile solo se è bigettiva?
un'applicazione bigettiva biettiva o biunivoca come la vuoi chiamare è invertibile e a volte si usa dire applicazione invertibile per indicare un applicazione iniettiva e suriettiva.
Ma è il fatto di essere iniettiva che la rende invertibile.
Ma è il fatto di essere iniettiva che la rende invertibile.
Ok, grazie...quindi i miei appunti che dicevano che se è biettiva è invertibile erano poco precisi...basta l'iniettività! Grazie...sei stato chiarissimo!
Puo' anche essere che la confusione sia dovuta al fatto di chiamare inversa parziale quella di una funzione iniettiva e semplicemente inversa quella di una funzione biettiva.
Alcuni testi usano il termine invertibile come sinonimo di iniettivita.
Comunque controllerò più approfonditamente perchè è una cosa che può generare confusione.
Se ci rifletti, se hai una funzione iniettiva e poi prendi come nuovo codominio l'immagine del dominio, ottieni una funzione biettiva.
Di contro se prendi come codominio un insieme che contiene l'immagine e non coincide con essa, una funzione diventa da biettiva iniettiva.
Alcuni testi usano il termine invertibile come sinonimo di iniettivita.
Comunque controllerò più approfonditamente perchè è una cosa che può generare confusione.
Se ci rifletti, se hai una funzione iniettiva e poi prendi come nuovo codominio l'immagine del dominio, ottieni una funzione biettiva.
Di contro se prendi come codominio un insieme che contiene l'immagine e non coincide con essa, una funzione diventa da biettiva iniettiva.
"Max861126":No, piano: una funzione iniettiva non e' invertibile in generale. Lo diventa una volta ristretto il codominio all'immagine.
Ok, grazie...quindi i miei appunti che dicevano che se è biettiva è invertibile erano poco precisi...basta l'iniettività! Grazie...sei stato chiarissimo!
In altre parole:
- una funzione iniettiva [tex]f:A \to B[/tex] non e' invertibile in generale,
- ma data una funzione iniettiva [tex]f:A \to B[/tex], la funzione [tex]g:A \to f(A)[/tex] definita da [tex]g(a):=f(a)[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex] e' invertibile.
@Lorin: grazie
"krek":
Puo' anche essere che la confusione sia dovuta al fatto di chiamare inversa parziale quella di una funzione iniettiva e semplicemente inversa quella di una funzione biettiva.
Alcuni testi usano il termine invertibile come sinonimo di iniettivita.
@ Martino {
Se puoi quando hai tempo potresti dare un occhiata a:
ANALISI MATEMATICA 1, Enrico Giusti, Cap. 3.3 - Funzione composta e funzione inversa
Per esempio:
pag.130 - "Un tipico esempio di funzioni iniettive (o invertibili³) è dato dalle funzioni strettamente monotòne.
nella nota: ³ Qui nel seguito useremo il termine invertibile come sinonimo di iniettività. Avvertiamo comunque che talvolta l'espressione applicazione invertibile viene usata per deonate un'applicazione iniettiva e suriettiva,, cioè una applicazione biunivoca.
$f^-1:f(A)->A$ la definisce come inversa di $f:A->B$, prendendo come dominio dell'inversa $f(A)$, ma non dice che $f:A->B$ diventa invertibile se prendo come suo comdominio $f(A)$ al posto di $B$ e considero la nuova funzione definita come $f:A->f(A)$.
In altri testi si fa distinzione tra inversa ($f^-1:B->A$) e inversa parziale ($f^-1:f(A)->A$).
"Martino":
No, piano: una funzione iniettiva non e' invertibile in generale.
mi trovo in difficoltà a rispondere a alcune di queste $(v,f)$:
- Le funzioni che sono solo iniettive non sono tutte invertibili.
- Le funzioni biettive non sono tutte invertibili.
- Le funzioni biettive sono tutte invertibili.
- Le funzioni invertibili sono tutte biettive.
- Le funzioni iniettive sono un sottoinsieme proprio delle funzioni invertibili.
- Le funzioni invertibili sono un sottoinsieme proprio delle funzioni iniettivie.
Vorrei capire se quando dico che $f^-1:f(A)->A$ è la funzione inversa di $f:A->B$ commetto un errore, e posso solo dire che $f^-1:f(A)->A$ è la funzione inversa di $f:A->f(A)$.
}
Ti ringrazio
Tutto cio' risale a capire che c'e' una differenza fondamentale tra una visione "algebrica" delle cose e una visione "analitica". Per gli algebrici una funzione e' il dato di dominio, codominio e la regola di associazione. Per gli "analisti" una funzione e' una regola di associazione, il dominio e il codominio vengono variati secondo l'utilita'. Da qui nasce l'ambiguita'.
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