Dimostrare iniettività , suriettiva di un applicazione
Indicato con $P$ l’insieme dei numeri primi positivi, si ponga, $AA x in N^star$,
$Pi(x)= {p in P : p|x}$, e si consideri l’applicazione $f : x in N^star ->Pi(x) in P(N)$.
i) Si studino iniettività e suriettività di $f$.
ii) Si determinino $f^-1(O/)$ e $f^-1({1})$.
Ragazzi per il punto i) inizio partendo dalle definizioni:
Un applicazione $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1=x2=>f(x1)=f(x2)$
Quindi nel caso della mia applicazione avrò:
$Pi(x1)=Pi(x2)$
Per $x1=10$ ottengo: $Pi(10)={2,5}$
Per $x2=20$ ottengo: $Pi(20)={2,5}$
Quindi per valori distinti del dominio ottengo stessi valori del codominio. E' corretto come l'ho dimostrato? Oppure c'è un altro modo?
Per la suriettività, dovrei dimostrare che $AA Y in P(N), EE x in N^star : Y=f(x)$ è corretto??? se si qualcuno può illustarmi un modo corretto per dimostrarlo?
Inoltre qualcuno può spiegarmi come impostare il punto ii)
Grazie anticiptamente
$Pi(x)= {p in P : p|x}$, e si consideri l’applicazione $f : x in N^star ->Pi(x) in P(N)$.
i) Si studino iniettività e suriettività di $f$.
ii) Si determinino $f^-1(O/)$ e $f^-1({1})$.
Ragazzi per il punto i) inizio partendo dalle definizioni:
Un applicazione $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1=x2=>f(x1)=f(x2)$
Quindi nel caso della mia applicazione avrò:
$Pi(x1)=Pi(x2)$
Per $x1=10$ ottengo: $Pi(10)={2,5}$
Per $x2=20$ ottengo: $Pi(20)={2,5}$
Quindi per valori distinti del dominio ottengo stessi valori del codominio. E' corretto come l'ho dimostrato? Oppure c'è un altro modo?
Per la suriettività, dovrei dimostrare che $AA Y in P(N), EE x in N^star : Y=f(x)$ è corretto??? se si qualcuno può illustarmi un modo corretto per dimostrarlo?
Inoltre qualcuno può spiegarmi come impostare il punto ii)
Grazie anticiptamente
Risposte
Salve gaten,
WOW, vai in secondaria?
Cordiali saluti
WOW, vai in secondaria?
Cordiali saluti
Chiedo scusa mi sono proprio imbrogliato.
"gaten":
.....
Un applicazione $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1=x2=>f(x1)=f(x2)$
...
Ciao!
Volevi forse dire che un'applicazione $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1!=x2=>f(x1)!=f(x2)$,
oppure metter una freccia di doppia implicazione al posto dell'ultima,
perchè facendo come hai scritto verificheresti solo che la tua applicazione è una funzione univoca:
comunque se ho letto bene il controesempio che hai portato è ottimo per affermare,come mi sembra che volevi fare,
la mancata iniettività della tua applicazione..
Per la definizione di suriettività,invece,ci siamo;
ma per darti una mano vorrei essere certo che con $P(NN)$ denoti l'insieme delle parti di $NN$
(dovrebbe esser così a giudicare dalle domande successive,ma la prudenza non è mai troppa e magari mi sfugge una qualche possibilità d'interpretare l'esercizio in modo diverso da come ho fatto..):
se fosse così t'invito semplicemente a notare che,
se $NNinP(NN)$ avesse almeno una controimmagine $x_(NN)$ tramite la tua applicazione,
vorrebbe dire che quel numero naturale non nullo $x_(NN)$ dovrebbe essere diviso da ogni naturale primo..
Per darti una mano nell'ultima parte,invece,ho bisogno di sapere una cosa:
nel tuo corso considerate 1 primo o no?
E' una vecchia diatriba che,ho imparato nel tempo,si può evitare solo mettendosi d'accordo,
ma occorre saperlo per dare una risposta corretta:
facci sapere,
e nel frattempo ti rivolgo i miei saluti dal web.
Salve theras,
Ciao!
Volevi forse dire che un'applicazione $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1!=x2=>f(x1)!=f(x2)$,
oppure metter una freccia di doppia implicazione al posto dell'ultima,
perchè facendo come hai scritto verificheresti solo che la tua applicazione è una funzione univoca:
comunque se ho letto bene il controesempio che hai portato è ottimo per affermare,come mi sembra che volevi fare,
la mancata iniettività della tua applicazione..
Per la definizione di suriettività,invece,ci siamo;
ma per darti una mano vorrei essere certo che con $P(NN)$ denoti l'insieme delle parti di $NN$
(dovrebbe esser così a giudicare dalle domande successive,ma la prudenza non è mai troppa e magari mi sfugge una qualche possibilità d'interpretare l'esercizio in modo diverso da come ho fatto..):
se fosse così t'invito semplicemente a notare che,
se $NNinP(NN)$ avesse almeno una controimmagine $x_(NN)$ tramite la tua applicazione,
vorrebbe dire che quel numero naturale non nullo $x_(NN)$ dovrebbe essere diviso da ogni naturale primo..
Per darti una mano nell'ultima parte,invece,ho bisogno di sapere una cosa:
nel tuo corso considerate 1 primo o no?
E' una vecchia diatriba che,ho imparato nel tempo,si può evitare solo mettendosi d'accordo,
ma occorre saperlo per dare una risposta corretta:
facci sapere,
e nel frattempo ti rivolgo i miei saluti dal web.[/quote]
$f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1!=x2=>f(x1)!=f(x2)$, che è equivalente a scrivere $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, f(x1)=f(x2)=>x1=x2$, se conosci l'implicazione materiale dovresti saperlo.
Cordiali saluti
"theras":
[quote="gaten"].....
Un applicazione $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1=x2=>f(x1)=f(x2)$
...
Ciao!
Volevi forse dire che un'applicazione $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1!=x2=>f(x1)!=f(x2)$,
oppure metter una freccia di doppia implicazione al posto dell'ultima,
perchè facendo come hai scritto verificheresti solo che la tua applicazione è una funzione univoca:
comunque se ho letto bene il controesempio che hai portato è ottimo per affermare,come mi sembra che volevi fare,
la mancata iniettività della tua applicazione..
Per la definizione di suriettività,invece,ci siamo;
ma per darti una mano vorrei essere certo che con $P(NN)$ denoti l'insieme delle parti di $NN$
(dovrebbe esser così a giudicare dalle domande successive,ma la prudenza non è mai troppa e magari mi sfugge una qualche possibilità d'interpretare l'esercizio in modo diverso da come ho fatto..):
se fosse così t'invito semplicemente a notare che,
se $NNinP(NN)$ avesse almeno una controimmagine $x_(NN)$ tramite la tua applicazione,
vorrebbe dire che quel numero naturale non nullo $x_(NN)$ dovrebbe essere diviso da ogni naturale primo..
Per darti una mano nell'ultima parte,invece,ho bisogno di sapere una cosa:
nel tuo corso considerate 1 primo o no?
E' una vecchia diatriba che,ho imparato nel tempo,si può evitare solo mettendosi d'accordo,
ma occorre saperlo per dare una risposta corretta:
facci sapere,
e nel frattempo ti rivolgo i miei saluti dal web.[/quote]
$f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1!=x2=>f(x1)!=f(x2)$, che è equivalente a scrivere $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, f(x1)=f(x2)=>x1=x2$, se conosci l'implicazione materiale dovresti saperlo.
Cordiali saluti
facciamo caso che 1 non è primo. Inoltre, quello che stò cercando di capire è un modo corretto per dimostrare la suriettività.
Riguardo all'iniettività penso di aver scritto bene, come sottolinea anche granak.olegovitc. $P(N)$ è l'insieme delle parti di $N$
Riguardo all'iniettività penso di aver scritto bene, come sottolinea anche granak.olegovitc. $P(N)$ è l'insieme delle parti di $N$
"garnak.olegovitc":
$f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1!=x2=>f(x1)!=f(x2)$, che è equivalente a scrivere $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1=x2=>f(x1)=f(x2)$.
Forse intendevi questo:
$f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, [f(x1)=f(x2)]=>[x1=x2]$.
Salve speculor,
certamente, lo dovevo scrivere in quel modo ma lo dimenticai.
Cordiali saluti
"speculor":
Forse intendevi questo:
$f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, [f(x1)=f(x2)]=>[x1=x2]$.
certamente, lo dovevo scrivere in quel modo ma lo dimenticai.
Cordiali saluti
Qualcuno saprebbe darmi anche una spiegazione riguardo alla suriettività della mia applicazione?
@gaten
Non ho capito, e per farla breve, stiamo parlando dell'applicazione che ad ogni numero naturale associa la scomposizione in numeri primi?
Non ho capito, e per farla breve, stiamo parlando dell'applicazione che ad ogni numero naturale associa la scomposizione in numeri primi?
Alcune domande prima di dare una risposta.
Conveniamo che \(0 \in \mathbb{N}\) o che \(0 \notin \mathbb{N}\)?
\(\mathbb{N}^{\star}\) chi è?
\(P\left(\mathbb{N}\right)\) è l'insieme delle parti di \(\mathbb{N}\)?
Conveniamo che \(0 \in \mathbb{N}\) o che \(0 \notin \mathbb{N}\)?
\(\mathbb{N}^{\star}\) chi è?
\(P\left(\mathbb{N}\right)\) è l'insieme delle parti di \(\mathbb{N}\)?
"speculor":
@gaten
Non ho capito, e per farla breve, stiamo parlando dell'applicazione che ad ogni numero naturale associa la scomposizione in numeri primi?
Penso che, più precisamente, stiamo parlando dell'applicazione che ad ogni naturale non nullo associa l'insieme dei suoi divisori primi.
"garnak.olegovitc":
$f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1!=x2=>f(x1)!=f(x2)$, che è equivalente a scrivere $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, f(x1)=f(x2)=>x1=x2$, se conosci l'implicazione materiale dovresti saperlo.
Cordiali saluti
Ciao!
E' proprio per questo che mi son permesso di correggerlo
(ammesso che fosse errore e non distrazione..):
aveva scritto il verso d'implicazione opposto a quello che tu giustamente usi..
"gaten":
.....
Un applicazione $f: X->Y$ è iniettiva $<=> AA x1,x2 in X, x1=x2=>f(x1)=f(x2)$
...
Saluti dal web.
"WiZaRd":
Penso che, più precisamente, stiamo parlando dell'applicazione che ad ogni naturale non nullo associa l'insieme dei suoi divisori primi.
Doverosa precisazione. La volevo far breve.
"gaten":
Qualcuno saprebbe darmi anche una spiegazione riguardo alla suriettività della mia applicazione?
Ciao!
Come ti dicevo all'inizio osserva come,se per assurdo $EEx_(NN)inNN$ t.c. $f(x_(NN))=NN$,avresti che $NNsube{p in P: p|x_(NN)}$:
dunque,in particolar modo,ogni numero naturale sarebbe primo.
Saluti dal web.
perdonami ma non riesco a capire
Molto banalmente: \(\{0\} \in \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)\) e se l'applicazione fosse suriettiva allora dovrebbe esistere un \(x \in \mathbb{N}^{\star}\) che ha come divisore primo lo \(0\). Ti sembra possibile? Anche \(\mathbb{N} \in \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)\): ti pare possibile che un numero naturale non nullo abbia come divisori primi tutti i numeri naturali tra cui ci sono anche numeri non primi?
No, non mi sembra possibile
Quindi non c'è la suriettività.
Ragazzi qualcuno può farmi capire come si svolge il punto due, riguardo le funzioni inverse?
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