(DIMOSTRARE) HK sottogruppo di G
Non riesco a dimostrare questa proposizione, qualcuno mi aiuta?
Sia G un gruppo (moltiplicativo), e siano H e K sottogruppi di G. Provare che se H è normale in K, allora HK è un sottogruppo di G.
Non so da so da dove cominciare...HELP ME!
Sia G un gruppo (moltiplicativo), e siano H e K sottogruppi di G. Provare che se H è normale in K, allora HK è un sottogruppo di G.
Non so da so da dove cominciare...HELP ME!
Risposte
Provo a buttar giù un paio di idee:
L'ipotesi " $H$ sottogruppo normale di $K$" significa che $Ha=aH$ $AAa in K$.
La tesi consiste nel provare che $AA x_1,x_2 in HK$ si ha $x_1*x_2^-1 in HK$.
Detto questo, presi due elementi $x_1 e x_2 in HK, $ li possiamo scrivere come $x_1=h_1k_1$, $x_2=h_2k_2$ con $h_i in H, k_i, in K$; $i=1,2.$
Dunque $x_1*x_2^-1=h_1k_1*(h_2k_2)^-1$.
Ora dovresti riuscire a concludere sfruttando l'ipotesi sopra.
L'ipotesi " $H$ sottogruppo normale di $K$" significa che $Ha=aH$ $AAa in K$.
La tesi consiste nel provare che $AA x_1,x_2 in HK$ si ha $x_1*x_2^-1 in HK$.
Detto questo, presi due elementi $x_1 e x_2 in HK, $ li possiamo scrivere come $x_1=h_1k_1$, $x_2=h_2k_2$ con $h_i in H, k_i, in K$; $i=1,2.$
Dunque $x_1*x_2^-1=h_1k_1*(h_2k_2)^-1$.
Ora dovresti riuscire a concludere sfruttando l'ipotesi sopra.
Intendi dire normale in $G$ o normale in $K$. Perché se è normale in $K$ allora basta considerare che $HK = K$ perché $H$ è un sottogruppo di $K$.
Per la normalità in $G$ devi usare il fatto che $kH = Hk$ come già suggerito.
Per la normalità in $G$ devi usare il fatto che $kH = Hk$ come già suggerito.
normale in k...GRAZIE!!!!!
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