Dimostrare che $(ZZ//8ZZ)^* ~= ZZ//2ZZ xx ZZ//2ZZ$

[nick_10]

Salve! Ho tentato di dimostrare che $(ZZ_/(8ZZ))^*$$~=ZZ_/2$x $ZZ_/2$
Ho ragionato in questo caso. La cardinalità del primo è uguale a $phi(8)=4$, dunque può essere isomorfo a $ZZ_/4$ o a $ZZ_/2$x $ZZ_/2$. Studiando gli elementi del gruppo si vede che esso ha solo elementi di ordine 1 o 2, dunque posso concludere.
C'è qualcosa che non va?

[Studente Anonimo]

Giusto, non c'è niente che non va.

[nick_10]

Grazie! Mi sembrava poco generale. A tal proposito si può generalizzare cosi:
al posto dell'otto a destra porre $2^(alpha)$ e al posto del secondo 2 a sinistra $2^(alpha-2)$?

[Studente Anonimo]

Sì esatto. La dimostrazione è tecnica, sono conti.

[nick_10]

Seguo lo stesso ragionamento di prima?

[Studente Anonimo]

No, bisogna andare in cerca di un elemento di ordine $2^{n-2}$, ti faccio uno screenshot della dimostrazione (rimanda a altri lemmi ma è solo per darti l'idea), bisogna mostrare che l'elemento 3 ha ordine $2^{n-2}$. Tratto da un corso di Gustavo A. Fernandez-Alcober dato all'università di Padova nel 2011.

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

[nick_10]

Grazie mille!