Dimostrare che una relazione non è di equivalenza
Ho una relazione e mi è stato detto di dimostrare che non è di equivalenza, mi è anche stato anticipato che non lo è "solo perchè" non è transitiva.
La relazione è: $R:ZZxZZ$ t.c $aRb \leftrightarrow a|b$ o $b|a$
Questa riflessione è riflessiva perchè sicuramente a è multiplo di se stesso;
Per la simmetria possiamo dobbiamo dimostrare che $aRb rarr bRa$
Ed è abbastanza scontato perchè $aRb harr$ $a|b$ o $b|a$ (ed in questo caso cadiamo nel primo caso)
mentre $bRa harr a|b$ o $b|a$ (e ricadiamo nel secondo caso)
Infine perchè non è transitiva? R sarebbe transitiva se:
con $a,b,c in ZZ$ supponendo $aRb$ e $bRc$
avremmo la seguente configurazione: $a|b$ o $b|a$ e $b|c$ o $c|b$
Ci potremmo trovare quindi nelle seguenti due ipotesi che non rispecchiano la transitività, ovvero: $a|b$ e $c|b$; $b|a$ e $b|c$ perchè in queste due ipotesi nonci si riconducerebbe ad $aRc$. Ho dedotto bene?
La relazione è: $R:ZZxZZ$ t.c $aRb \leftrightarrow a|b$ o $b|a$
Questa riflessione è riflessiva perchè sicuramente a è multiplo di se stesso;
Per la simmetria possiamo dobbiamo dimostrare che $aRb rarr bRa$
Ed è abbastanza scontato perchè $aRb harr$ $a|b$ o $b|a$ (ed in questo caso cadiamo nel primo caso)
mentre $bRa harr a|b$ o $b|a$ (e ricadiamo nel secondo caso)
Infine perchè non è transitiva? R sarebbe transitiva se:
con $a,b,c in ZZ$ supponendo $aRb$ e $bRc$
avremmo la seguente configurazione: $a|b$ o $b|a$ e $b|c$ o $c|b$
Ci potremmo trovare quindi nelle seguenti due ipotesi che non rispecchiano la transitività, ovvero: $a|b$ e $c|b$; $b|a$ e $b|c$ perchè in queste due ipotesi nonci si riconducerebbe ad $aRc$. Ho dedotto bene?
Risposte
Ciao.
Sì hai dedotto bene, ma non hai ancora mostrato in modo esplicito che la relazione non è transitiva. Per provarlo devi esibire tre interi $a,b,c$ tali che $aRb$ e $bRc$ ma non $aRc$.
Sì hai dedotto bene, ma non hai ancora mostrato in modo esplicito che la relazione non è transitiva. Per provarlo devi esibire tre interi $a,b,c$ tali che $aRb$ e $bRc$ ma non $aRc$.
Giusto, per confutare una tesi basta che mostro un caso che la confuta.
Avrei anche un problema su quest'altra relazione ovvero:
$aRb hArr EEx in R$ con $x!=0$ t.c $a*x=b$ $in RR$
Ora io nella traccia la prima R l'ho segnata come una R di relazione, ma non credo che x possa appartenere ad una relazione (al massimo x può essere IN relazione) quindi sarà $x in RR$, no?
Detto questo devo trovare le classi di equivalenza.
Io ho iniziato con il dire che, contando sempre che $x!=0$
$[a]_R = {x,b in RR$ t.c $a*x=b}$
Negli altri esercizi ho sempre avuto solo a e b, quindi mi limitavo a vedere al variare di a quali erano le b che potevo accoppiarci secondo la relazione $R$. Ma ora? non devo calcolare sia il variare di a che di x?
Ovvero non avrei cinque classi di equivalenza cioè quelle denotate da:
$a=0$ ed x qualsiasi;
$a>0$ ed $x in RR+$
$a<0$ ed $x in RR+$
$a>0$ ed $x in RR-$
$a<0$ ed $x in RR-$
Però la professoressa dice che è di equivalenza, quindi $a$ non può essere in più gruppi, al contempo x mi dice solo che è diverso da $0$ non che è positivo.
Ergo o c'è un errore nella traccia, o a me sfugge qualcosa.
Anche perchè mi è stato già dato il risultato e dice che ci sono solo due classi di equivalenza ovvero quelle con $a=0$ e quelle con $a in RR+$. Con tale risultato dovrei dedurre che x è positivo e non semplicemente diverso da zero, no?
Avrei anche un problema su quest'altra relazione ovvero:
$aRb hArr EEx in R$ con $x!=0$ t.c $a*x=b$ $in RR$
Ora io nella traccia la prima R l'ho segnata come una R di relazione, ma non credo che x possa appartenere ad una relazione (al massimo x può essere IN relazione) quindi sarà $x in RR$, no?
Detto questo devo trovare le classi di equivalenza.
Io ho iniziato con il dire che, contando sempre che $x!=0$
$[a]_R = {x,b in RR$ t.c $a*x=b}$
Negli altri esercizi ho sempre avuto solo a e b, quindi mi limitavo a vedere al variare di a quali erano le b che potevo accoppiarci secondo la relazione $R$. Ma ora? non devo calcolare sia il variare di a che di x?
Ovvero non avrei cinque classi di equivalenza cioè quelle denotate da:
$a=0$ ed x qualsiasi;
$a>0$ ed $x in RR+$
$a<0$ ed $x in RR+$
$a>0$ ed $x in RR-$
$a<0$ ed $x in RR-$
Però la professoressa dice che è di equivalenza, quindi $a$ non può essere in più gruppi, al contempo x mi dice solo che è diverso da $0$ non che è positivo.
Ergo o c'è un errore nella traccia, o a me sfugge qualcosa.
Anche perchè mi è stato già dato il risultato e dice che ci sono solo due classi di equivalenza ovvero quelle con $a=0$ e quelle con $a in RR+$. Con tale risultato dovrei dedurre che x è positivo e non semplicemente diverso da zero, no?
"Neptune":No: la classe $[a]_R$ consiste di quei $b$ tali che esiste $x ne 0$ tale che $ax=b$. In altre parole:
$[a]_R = {x,b in RR$ t.c $a*x=b}$
$[a]_R = {b in RR\ |\ exists x in RR,\ x ne 0,\ t.c.\ ax=b}$.
Osserva che due qualunque reali non nulli sono in relazione, perché se $x,y$ sono reali non nulli allora $y = (y/x)x$. Questo determina le classi.
Quindi $aRb$ se e solo se esiste almeno un x che moltiplicato per a ci da b? non ci serve sapere quale, ma ci basti sapere che esiste. No?
Ma mi rimane sempre il dubbio di prima, ovvero se x è negativo e quindi a moltiplicato per un numero negativo non ci determina un $B in RR-$? Mentre il risultato di prima dice che abbiamo solo le classi degli $RR+$ e la classe $0$.
Oppure il fatto che si dica = b signifia che b deve essere per forza positivo?
Ma mi rimane sempre il dubbio di prima, ovvero se x è negativo e quindi a moltiplicato per un numero negativo non ci determina un $B in RR-$? Mentre il risultato di prima dice che abbiamo solo le classi degli $RR+$ e la classe $0$.
Oppure il fatto che si dica = b signifia che b deve essere per forza positivo?
La stai facendo un po' complicata. Secondo me dovresti dimenticare i "fronzoli" e pensarla pura e semplice: due numeri sono equivalenti se sono "proporzionali", ovvero se si può passare da uno all'altro tramite moltiplicazione per un numero (non nullo).
Osserva che ogni reale non nullo è equivalente a $1$ (infatti se $x$ è un reale non nullo allora $x * 1/x = 1$), quindi ci sono solo due classi, e sono $[0]$ e $[1]$.
Esplicitamente $[0]={0}$ e $[1]=RR-{0}$.
Osserva che ogni reale non nullo è equivalente a $1$ (infatti se $x$ è un reale non nullo allora $x * 1/x = 1$), quindi ci sono solo due classi, e sono $[0]$ e $[1]$.
Esplicitamente $[0]={0}$ e $[1]=RR-{0}$.
Mi servirebbe fare qualche esercizio in piu sulle relazioni (da determinare se sono di equivalenza fino a trovarne le classi), sapresti consigliarmi qualche sito da cui prendere qualche traccia ? (almeno traccia con risultato finale)
"Martino":
$y = (y/x)x$. Questo determina le classi.
Ancora non riesco a capire come sei arrivato a questo passaggio, e sopratutto: Se a lo chiami x, b lo chiami y, e x come lo chiami?
"Neptune":
[quote="Martino"] $y = (y/x)x$. Questo determina le classi.
Ancora non riesco a capire come sei arrivato a questo passaggio, e sopratutto: Se a lo chiami x, b lo chiami y, e x come lo chiami?
[/quote]Lo chiamo $y/x$. Non capisco quale sia il problema: l'identità $y=y/x * x$ è vera, no? Quindi $x$ e $y$ sono equivalenti non appena sono diversi da zero.
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