Dimostrare che un insieme ha la potenza del continuo

[blurb]

Salve!
ho imparato che la potenza del numerabile è data da una funzione biunivoca tra [tex]\mathbb{N}[/tex] e un insieme A.
Quindi per dimostrare la potenza del numerabile, dovrei soltanto cercare una relazione che associ ad ogni n un n', giusto?
Per quanto riguarda la dimostrazione che un insieme B abbia la potenza del continuo, invece, come devo procedere? Dovrei trovare che c'è una biiezione tra B ed [tex]\mathbb{R}[/tex], ma come si fa?

[vict85]

Si può far così o si può cercare di costruire B come prodotto al più numerabile di copie di \(\mathbb{R}\).

[blurb]

E come si fa? Non ho idea di come renderlo concretamente in una dimostrazione :\

[vict85]

Beh, dipende dall'insieme \(B\). Devo comunque ammettere di non aver mai visto la dimostrazione della proposizione che ho espresso prima e spero di ricordarla bene. Sicuramente funziona al finito comunque.

In ogni caso lo puoi usare per dire che \(\mathbb{C}\) ha la cardinalità del continuo.

[blurb]

in pratica mi basta definire una funzione da B in [tex]\mathbb{R}[/tex]?

[garnak.olegovitc1]

Salve Coseb,

"Coseb":in pratica mi basta definire una funzione da B in [tex]\mathbb{R}[/tex]?

cit. tratta dal "Analisi Matematica Volume 1 C.D. Pagani, S. Salsa":

"Analisi Matematica Volume 1 C.D. Pagani, S. Salsa":
Diremo che un insieme ha la cardinalità o potenza del continuo se risulta equipotente a $RR$

Cordiali saluti

[blurb]

chiedo scusa per le mie domande banali, ma vorrei essere certo di aver capito bene: se trovo una retta, dunque da B ad [tex]\mathbb{R}[/tex], ho trovato una corrispondenza biunivoca e quindi la equipotenza, giusto?
grazie infinite per l'aiuto e la pazienza

[vict85]

Se trovi un corrispondenza allora la cardinalità è assicurata si, ma spesso è poco pratico cercarne una.

[garnak.olegovitc1]

Coseb,

"Coseb":chiedo scusa per le mie domande banali, ma vorrei essere certo di aver capito bene: se trovo una retta, dunque da B ad [tex]\mathbb{R}[/tex], ho trovato una corrispondenza biunivoca e quindi la equipotenza, giusto?
grazie infinite per l'aiuto e la pazienza

hai detto bene... "se trovo..", tutto sta nel trovare tale corrispondenza...

Cordiali saluti

[blurb]

per trovarla posso utilizzare questo metodo?
viewtopic.php?f=26&t=116372

[vict85]

Scusa ma mi sfugge il metodo a cui stai facendo riferimento. Il metodo per trovarla dipende fortemente da che insiemi stai trattando.

[garnak.olegovitc1]

Salve Coseb,

"Coseb":per trovarla posso utilizzare questo metodo?
viewtopic.php?f=26&t=116372

non capisco nemmeno io... i due topic trattano argomenti diversi ...alpiù ti posso segnalare questa.. come vedi è molto più "complessa" la cosa da come "presumibilmente" vuoi fare..

Cordiali saluti

[blurb]

Beh, non capite perché a quanto pare ho preso una cantonata terribile!
Pensavo che la questione fosse molto più semplice! Come nel caso di trovare una funzione biunivoca del post che vi ho linkato tra due insiemi, pensavo bastasse trovare [tex]f(x) = mx+q[/tex] per verificare una equipotenza. Ma a quanto pare sono necessarie conoscenze che ancora non ho, per saper sempre fare questo tipo di dimostrazioni!
Potete consigliarmi qualcosa da studiare per comprendere meglio questo discorso, perfavore?

[vict85]

Una retta ed \(\mathbb{R}\) hanno in effetti la stessa cardinalità ma lo stesso vale per \(\mathbb{R}\) e un cerchio o anche \(\mathbb{R}\) e una palla chiusa. In questo caso è molto più difficile costruire una biiezione.