Dimostrare che $S_4/K \cong S_3$

[jontao]

Sia $A$ l'insieme degli elementi del gruppo di Klein diversi dall'identità. Consideriamo l'insieme $Big(A)$ delle biezioni da A in sé. Con le operazioni di composizione, è un gruppo isomorfo a $S3$. Sia $f:S_4 \rightarrow Big(A)$ dove $f(\sigma)$ è tale che per ogni $x in A$ $f(\sigma)(x)=\sigma x \sigma^-1$. Dimostrare che $f$ è un omomorfismo di gruppi e che $S_4/K \cong S_3$.

1) $f$ è omomomorfismo:
Siano $\sigma$ e $\tau in S_4$ allora $f(\sigma\tau)(x) = (\sigma\tau)x(\sigma\tau)^-1=\sigma\taux\tau^-1\sigma^-1=f(\sigma)f(\tau)x$.

2)Se riesco a dimostrare che f è surgettivo, allora essendo $Kerf$ normale in $S_4$ ho che $S_4/{kerf} \cong S_3$da cui segue che la cardinalità di $kerf$ è 4. Inoltre si vede facilmente che $K$(il Klein) è incluso nel kernel che quindi corrispone proprio a $K$ per question di cardinalità.

Come posso dimostrare che è surgettivo?
Grazie in anticipo.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Per esempio puoi dimostrare che esistono $x,y in S_4$ tali che $f(x)$ ha ordine $2$ e $f(y)$ ha ordine $3$. Per il teorema di Lagrange, segue che l'immagine di $f$ ha ordine divisibile per $6$. Siccome il codominio di $f$ ha ordine $6$, segue che $f$ è suriettiva. Sai trovare $x$ e $y$?

[jontao]

Ma se $\sigma \in S_4$ allora $f(\sigma) = \sigma x \sigma^-1$ lascia invariata la composizione in cicli disgiunti di $x \in S_4$ quindi l'immagine è ancora del tipo (*,*)(*,*)?
C'è qualcosa che mi sfugge

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

No, la struttura ciclica di $f(sigma)$ si calcola vedendo come $f(sigma)$ agisce sugli elementi di $A$. Potrà agire come l'identità, come un $2$-ciclo oppure come un $3$-ciclo (perché $|A|=3$). Per esempio, scegliendo $sigma=(1234)$, come agirà $f(sigma)$ sugli elementi di $A$? Calcola $f(sigma)(x)$ per ogni $x in A$. Fatto questo, pensaci: qual è l'ordine di $f(sigma)$? Cioè qual è il più piccolo intero positivo $n$ tale che $f(sigma)^n=1$?

[jontao]

Quindi se $\sigma = (1,2,3,4)$ e $\tau=(1,2,3)$, $f(\sigma)$ ha ordine 2 mentre $f(\tau)$ ha ordine 3, a questo punto $Immf$ ha un elemento di ordine 2 e uno di ordine 3 quindi per Lagrange la cardinalità è un multiplo di 6, e visto che $S_3$ ha proprio cardinalità 6, f è anche surgettivo.
Giusto?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sì