Dimostrare che R/I è infinito.

Gonnelli1355
Buonasera a tutti. Premetto che questa è la prima volta che scrivo nel forum, dunque non ho molta dimestichezza con la scrittura di formule.

Ho $R=ZZ^NN$ l'anello delle funzioni da $NN$ in $ZZ$.
$ I={fin R|EE nin NN t.c. f(m)=0 AA m>=n} $ .

Devo dimostrare che R/I è infinito. Volevo capire se il mio procedimento era corretto:

Dati $ f,g in R $, $ f+I=g+I iff EE nin NN t.c f(m)=g(m), AA m>=n $.
Fissiamo $ nin NN $ . Sia $ J={\bar{f} in RR|\bar{f}(m)=c AA m>=n, cin NN} $ . Allora J è un sottoinsieme proprio di R/I.
Poichè J è un insieme infinito, deve esserlo anche R/I.

Può andare come dimostrazione? Gradirei qualche eventuale dritta.
Grazie mille!

PS: non riesco ad inserire spazi nelle formule; qualcuno sa dirmi come riuscirci?

Risposte
killing_buddha
Se l'anello (nel tuo caso $R/I$) ha caratteristica zero, deve essere infinito perche' l'unico morfismo di anelli da $\mathbb Z$ ad $R/I$ e' iniettivo.
Il che e' solo un modo raffinato di dire che il morfismo $\mathbb Z\to R/I$ che manda $1$ nella funzione costante in $1$ e' iniettivo (dato che se $m\neq n$, la funzione costante in $n$ e quella costante in $m$ non differiscono per una funzione definitivamente nulla).

Gonnelli1355
Capisco (più o meno).. Ma come faccio a dire che la caratteristica e' zero?? Non riesco a capire bene come vederlo..
In ogni caso la mia dimostrazione non andrebbe bene?
Vi prego per una risposta il più esplicativa possibile, perché domani ho l' esame.
Grazie mille!!

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