Dimostrare che R è una relazione d'ordine
Allora l'esercizio è questo:
Siano A = {a, b, c}, B = {1, 2} e C = { f: A \( \longrightarrow \) B : f è una funzione}
Sia R la relazione su C definita da f \( \Re \) g se e solo se f(x) \( \leq \) g(x) per ogni x \( \in \) A.
Dire se \( \Re \) è una relazione d'ordine.
Io dopo aver "determinato" l'insieme C, ovvero C = {(a,1);(a,2);(b,1);(b,2);(c,1);(c,2)}, ho fatto questo ragionamento: non è riflessiva perché \( \Re \) non contiene ad esempio la coppia (a,a), di conseguenza non è una relazione d'ordine.
Però ora so per certo che questo ragionamento è completamente errato.
Qualcuno sa darmi qualche chiarimento sullo svolgimento corretto dell'esercizio?
Siano A = {a, b, c}, B = {1, 2} e C = { f: A \( \longrightarrow \) B : f è una funzione}
Sia R la relazione su C definita da f \( \Re \) g se e solo se f(x) \( \leq \) g(x) per ogni x \( \in \) A.
Dire se \( \Re \) è una relazione d'ordine.
Io dopo aver "determinato" l'insieme C, ovvero C = {(a,1);(a,2);(b,1);(b,2);(c,1);(c,2)}, ho fatto questo ragionamento: non è riflessiva perché \( \Re \) non contiene ad esempio la coppia (a,a), di conseguenza non è una relazione d'ordine.
Però ora so per certo che questo ragionamento è completamente errato.
Qualcuno sa darmi qualche chiarimento sullo svolgimento corretto dell'esercizio?
Risposte
Beh, innanzitutto \( C \) non è fatto in quel modo... Come ragioni per determinare \( C \)?
Il ragionamento su $ (a,a) $ è assurdo, consideri le funzioni da A in B e non le permutazioni di A...
Fatti alcuni esempi: la $ f(x) $ che manda $ a $ in $ 1 $, $ b $ in $ 1 $ e $ c $ in $ 2 $ sarà minore di una funzione definita come?
Fatti alcuni esempi: la $ f(x) $ che manda $ a $ in $ 1 $, $ b $ in $ 1 $ e $ c $ in $ 2 $ sarà minore di una funzione definita come?
"Epimenide93":
Beh, innanzitutto \( C \) non è fatto in quel modo... Come ragioni per determinare \( C \)?
ad ogni elemento di A è associato un elemento di B
quindi ho pensato (a,1),(a,2) ecc..
in questo caso devo dare per scontato che sia una funzione suriettiva?
Ma $ C $ è un'insieme di funzioni di dominio $ A $, quelle che hai elencato tu sono funzioni di dominio unitario...
"Davide24":
ad ogni elemento di A è associato un elemento di B
quindi ho pensato (a,1),(a,2) ecc..
in questo caso devo dare per scontato che sia una funzione suriettiva?
Una funzione è una relazione univoca, ovvero un sottoinsieme dell'insieme delle parti di \(\displaystyle A \times B \) con determinate caratteristiche. Puoi quindi rappresentare una funzione tramite un insieme (l'insieme delle coppie ordinate \(\displaystyle ({\rm elemento \ del \ dominio}, \ {\rm immagine \ relativa}) \)). Quindi un insieme di funzioni, sarà un insieme i cui elementi sono funzioni (insiemi).
Ciao a tutti,
Vorrei aggiungere che se ad ogni elemento di $A$ è associato uno e un solo elemento di $B$ allora all'elemento $a$ di $A$ non possono essere associati due elementi di $B$.. (magari ho scritto una cavolata, correggetemi se sbaglio!)
Vorrei aggiungere che se ad ogni elemento di $A$ è associato uno e un solo elemento di $B$ allora all'elemento $a$ di $A$ non possono essere associati due elementi di $B$.. (magari ho scritto una cavolata, correggetemi se sbaglio!)
"grimx":
Ciao a tutti,
Vorrei aggiungere che se ad ogni elemento di $A$ è associato uno e un solo elemento di $B$ allora all'elemento $a$ di $A$ non possono essere associati due elementi di $B$.. (magari ho scritto una cavolata, correggetemi se sbaglio!)
È corretto, si tratta proprio della condizione di univocità che contraddistingue una funzione (o mappa) dalle altre relazioni tra due insiemi.
Quella che ha scritto Davide24 in realtà non è una funzione, né è \(\displaystyle C \) (che di solito si indica con \(\displaystyle B^A \)) ma è...?
Il prodotto cartesiano? 
"grimx":
Il prodotto cartesiano?
Bingo
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