Dimostrare che non esistono 2 numeri razionali
Sia $ξ ∈ C$ una radice del polinomio $x^2 + x + 5$ . Trovare, oppure dimostrare che non
esistono, due numeri razionali a, b tali che $(a + bξ)(1 − ξ) = 1$.
qualcuno saprebbe darmi una mano per questo esercizio?
grazie mille
[xdom="Martino"]Spostato in Algebra[/xdom]
esistono, due numeri razionali a, b tali che $(a + bξ)(1 − ξ) = 1$.
qualcuno saprebbe darmi una mano per questo esercizio?
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Risposte
a vederlo così io calcolerei le due radici ed imporrei il sistema con l'uguaglianza assegnata. risolvendolo immagino risulti impossibile/possibile. da cui i parametri. io farei così
L'elemento $(1-\xi)^{-1}$ appartiene al campo \(\mathbb Q(\xi)\cong \mathbb Q[X]/I\) dove $I=(X^2+X+5)$ (irriducibile perché le due radici di $X^2+X+5$ sono entrambe complesse a coefficienti reali: \(\xi_{1,2} = \frac{-1\pm i\sqrt{19}}{2}\)).
Si tratta di impostare un sistema che trovi per quali coefficienti razionali \((1-\xi)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \xi^k = a + b\xi\). Suggerirei di partire cercando di semplificare la serie tenendo a mente che $\xi^2 = -\xi-5$.
Si tratta di impostare un sistema che trovi per quali coefficienti razionali \((1-\xi)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \xi^k = a + b\xi\). Suggerirei di partire cercando di semplificare la serie tenendo a mente che $\xi^2 = -\xi-5$.
Facendo qualche conto, apparentemente \(a=2/7\) e \(b = 1/7\). Ma non fidarti.
Dato che $X^2 + X + 5$ è irriducibile in $\mathbb{Q}[X]$, l'anello quoziente $\mathbb{Q}[X] // (X^2 + X + 5) \cong \mathbb{Q}(\xi)$ è un campo e in particolare è un $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale di dimensione 2 e una base è data da $(1, \xi)$. Quindi esistono dei razionali $a$, $b$ per cui si ha $a + b\xi = (1 - \xi)^{-1}$; poi facendo conti brutti tipo calcolando $(a + b\xi)(1 - \xi)$, imponendolo uguale a 1 e ricordando sempre la relazione $-\xi^2 = \xi + 5$, si ricava $a = 2 // 7$ e $b = 1 // 7$.
Perdonatemi il LaTeX orribile, sto scrivendo da telefono.
Edit1: ora che sono a casa faccio i conti. Prima di tutto si ha $$(a + b\xi)(1 - \xi) = a + 5b + (2b - a)\xi$$ e imponendolo uguale a 1 deve essere $a + 5b = 1$ (i.e. $a = 1 - 5b$) e $2b - a = 0$ (i.e. $a = 2b$) dato il discorso della base sopra. Concludiamo quindi con $b = 1 // 7$ e di conseguenza $a = 2 // 7$.
Edit2: il calcolo dei coefficienti è naturalmente lo stesso nel caso di qualsiasi campo $\mathbb{Q}(\eta)$, in cui $\eta$ è una radice di un polinomio a coefficienti razionali, dato che è lo stesso passaggio usato per dimostrare che le varie potenze $\eta^k$, per $k$ da 0 fino a $\text{deg}(p_\eta) - 1$, formano una base come spazio vettoriale sui razionali (qui il polinomio $p_\eta$ è il polinomio minimo di $\eta$).
Perdonatemi il LaTeX orribile, sto scrivendo da telefono.
Edit1: ora che sono a casa faccio i conti. Prima di tutto si ha $$(a + b\xi)(1 - \xi) = a + 5b + (2b - a)\xi$$ e imponendolo uguale a 1 deve essere $a + 5b = 1$ (i.e. $a = 1 - 5b$) e $2b - a = 0$ (i.e. $a = 2b$) dato il discorso della base sopra. Concludiamo quindi con $b = 1 // 7$ e di conseguenza $a = 2 // 7$.
Edit2: il calcolo dei coefficienti è naturalmente lo stesso nel caso di qualsiasi campo $\mathbb{Q}(\eta)$, in cui $\eta$ è una radice di un polinomio a coefficienti razionali, dato che è lo stesso passaggio usato per dimostrare che le varie potenze $\eta^k$, per $k$ da 0 fino a $\text{deg}(p_\eta) - 1$, formano una base come spazio vettoriale sui razionali (qui il polinomio $p_\eta$ è il polinomio minimo di $\eta$).
"fmnq":
Dato che $X^2 + X + 5$ è irriducibile in $\mathbb{Q}[X]$, l'anello quoziente $\mathbb{Q}[X] // (X^2 + X + 5) \cong \mathbb{Q}(\xi)$ è un campo e in particolare è un $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale di dimensione 2 e una base è data da $(1, \xi)$. Quindi esistono dei razionali $a$, $b$ per cui si ha $a + b\xi = (1 - \xi)^{-1}$; poi facendo conti brutti tipo calcolando $(a + b\xi)(1 - \xi)$, imponendolo uguale a 1 e ricordando sempre la relazione $-\xi^2 = \xi + 5$, si ricava $a = 2 // 7$ e $b = 1 // 7$.
Perdonatemi il LaTeX orribile, sto scrivendo da telefono.
Edit1: ora che sono a casa faccio i conti. Prima di tutto si ha $$(a + b\xi)(1 - \xi) = a + 5b + (2b - a)\xi$$ e imponendolo uguale a 1 deve essere $a + 5b = 1$ (i.e. $a = 1 - 5b$) e $2b - a = 0$ (i.e. $a = 2b$) dato il discorso della base sopra. Concludiamo quindi con $b = 1 // 7$ e di conseguenza $a = 2 // 7$.
Edit2: il calcolo dei coefficienti è naturalmente lo stesso nel caso di qualsiasi campo $\mathbb{Q}(\eta)$, in cui $\eta$ è una radice di un polinomio a coefficienti razionali, dato che è lo stesso passaggio usato per dimostrare che le varie potenze $\eta^k$, per $k$ da 0 fino a $\text{deg}(p_\eta) - 1$, formano una base come spazio vettoriale sui razionali (qui il polinomio $p_\eta$ è il polinomio minimo di $\eta$).
non capisco una cosa io i valori di a e b li ottengo sole se metto a sistema la parte senza ξ e la parte con ξ.
ma la mia domanda è perché devo farlo, cioè non mi è chiaro il ragionamento dietro
"Posniax":
non capisco una cosa io i valori di a e b li ottengo sole se metto a sistema la parte senza ξ e la parte con ξ.
ma la mia domanda è perché devo farlo, cioè non mi è chiaro il ragionamento dietro
Il motivo è che $(1, \xi)$ è una base di $\mathbb{Q}(\xi)$ come spazio vettoriale sui razionali, quindi ogni suo elemento si scrive in modo unico come combinazione lineare di $1$ e $\xi$ a coefficienti in $\mathbb{Q}$. Se quindi abbiamo l'elemento $(a + 5b)1 + (2b - a)\xi$ (qui ho enfatizzato che sto scrivendolo come combinazione lineare della nostra base), questo è uguale a $1 = (1)1 + (0)\xi$ se e solo se i coefficienti a cui moltiplichiamo $1$ e $\xi$ coincidono, cioè $a + 5b = 1$ e $2b - a = 0$.
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