Dimostrare che l'insieme B ⊆ A U B

[Alin2]

Vi chiedo gentilmente di verificare se tutto va bene:
$B ⊆ A uu B$
$x in B rArr x in A uu B$ (definizione di unione)
Segue che $B ⊆ A uu B$
Ho provato anche a dimostrare la cosa con la logica proposizionale:

$B ⊆ A uu B$
$x in B rArr x in A uu B$
$x in B rArr (x in A vv x in B$
Chiamo $x in B$ proposizione $p$
Chiamo $x in A$ proposizione $q$
Quindi ottengo $ p rArr (q vv p) = p rArr q vv p rArr p $
Ora ho
$ p rArr q = Falso$
$p rArr p = Vero$
E da qui, considerando la tavola di $ vv$ ho
$ p rArr (q vv p) = Vero$
Segue che
$x in B rArr x in A uu B$
Cioè $B ⊆ A uu B$

[cionilorenzo]

"Alin":Vi chiedo gentilmente di verificare se tutto va bene:
$B ⊆ A uu B$
$x in B rArr x in A uu B$ (definizione di unione)
Segue che $B ⊆ A uu B$
Ho provato anche a dimostrare la cosa con la logica proposizionale:

$B ⊆ A uu B$
$x in B rArr x in A uu B$
$x in B rArr (x in A vv x in B$
Chiamo $x in B$ proposizione $p$
Chiamo $x in A$ proposizione $q$
Quindi ottengo $ p rArr (q vv p) = p rArr q vv p rArr p $
Ora ho
$ p rArr q = Falso$
$p rArr p = Vero$
E da qui, considerando la tavola di $ vv$ ho
$ p rArr (q vv p) = Vero$
Segue che
$x in B rArr x in A uu B$
Cioè $B ⊆ A uu B$

Io proverei così ($0$ è l'insieme vuoto):
$B= B uu 0 = B \cup (A \cap A^C) = (B \cup A) \cap (B \cup A^C)$
da cui la tesi.
L.

[gugo82]

Qui sono davvero arrugginito, quindi perdonate qualche inesattezza.

Vorresti dimostrare che $AA x (p(x) => p(x) vv q(x))$ (nel tuo caso, hai due predicati, non due proposizioni).
Per fare ciò, basta elaborare una tabella di verità e vedere se tutto funziona. Con le solite tecniche, trovi:
\[
\begin{matrix}
p(x) & q(x) & p(x) \lor q(x) & p(x) \Rightarrow p(x) \lor q(x) \\
V & V & V & V \\
V & F & V & V \\
F & V & V & V \\
F & F & F & V
\end{matrix}
\]
cosicché (come dovrebbe esser noto) $p(x) => p(x) vv q(x)$ è una tautologia e sei a posto.

[Alin2]

Grazie mille per l'aiuto e la collaborazione.

[moenia]

Scusate l'intromissione ma sto studiando algebra 1 e ho trovato esattamente dei dubbi l'altro giorno su questi concetti.

@gugo: tuttavia pur avendo seguito lezione e libro non ho ben trovato spiegato perché

"cosicché (come dovrebbe esser noto) p(x)⇒p(x)∨q(x) è una tautologia e sei a posto"

In sostanza mi è stato fatto notare in una interessante discussione come $A⊆B$ quando $∀x(x∈A⇒x∈B)$ tra parentesi abbiamo il predicato che diventa la proposizione con per ogni x. D'altro canto $x∈A$ può essere vera o falsa, così come $x∈B$ e di volta in volta $(x∈A⇒x∈B)$ sarà vera o falsa e quando falsa non potrò scrivere che A è contenuto in B, se vera sì.

Se voglio dimostrare B ⊆ A U B come giustamente dici deve essere: $∀x(x in A⇒x in A∨x in B)$.
Fin qui mi pare tornarmi tutto.

Però non comprendo perché per mostrare che B ⊆ A U B devo avere una tautologia su $x in A⇒x in A∨x in B$
(tra l'altro quando ho una tautologia sull'implicazione questo vorrebbe dire che da implicazione materiale =>, passo a implicazione logica ->; su questo concetto mi incastro sempre )

Ti/vi ringrazio.

[cionilorenzo]

"moenia":Scusate l'intromissione ma sto studiando algebra 1 e ho trovato esattamente dei dubbi l'altro giorno su questi concetti.

@gugo: tuttavia pur avendo seguito lezione e libro non ho ben trovato spiegato perché

"cosicché (come dovrebbe esser noto) p(x)⇒p(x)∨q(x) è una tautologia e sei a posto"

In sostanza mi è stato fatto notare in una interessante discussione come $A⊆B$ quando $∀x(x∈A⇒x∈B)$ tra parentesi abbiamo il predicato che diventa la proposizione con per ogni x. D'altro canto $x∈A$ può essere vera o falsa, così come $x∈B$ e di volta in volta $(x∈A⇒x∈B)$ sarà vera o falsa e quando falsa non potrò scrivere che A è contenuto in B, se vera sì.

Se voglio dimostrare B ⊆ A U B come giustamente dici deve essere: $∀x(x in A⇒x in A∨x in B)$.
Fin qui mi pare tornarmi tutto.

Però non comprendo perché per mostrare che B ⊆ A U B devo avere una tautologia su $x in A⇒x in A∨x in B$
(tra l'altro quando ho una tautologia sull'implicazione questo vorrebbe dire che da implicazione materiale =>, passo a implicazione logica ->; su questo concetto mi incastro sempre )

Ti/vi ringrazio.

Dunque: una tautologia è un'affermazione vera per definizione. L'unico caso in cui $ p(x)⇒p(x)∨q(x) $ potrebbe essere falsa è antecedente vero e conseguente falso cosa impossibile in questo caso particolare perché se $p(x)$ è vera lo è anche $p(x)∨q(x)$ indipendentemente dal valore di verità di $q(x)$.
Punto.
In quanto al tuo problema rassegnati. Dati due insiemi $A$ e $B$ per vedere se il primo è sottoinsieme (proprio o improprio) del secondo si procede controllando se gli elementi del primo sono contenuti o no nel secondo. In caso affermativo $A$ è sottoinsieme di $B$ altrimenti no.
Punto. Tutto il resto è noia o esercizi manuali per filosofi
L.