Dimostrare che l'immagine di un omomorfismo di campi è algebrica sul codominio
Stavo vedendo la dimostrazione che due chiusure algebriche di un campo sono isomorfe e ad un certo punto il libro usa il seguente fatto che non dimostra.
Sia $\phi : F-->K$ un omomorfismo di campi tale che K è una chiusura algebrica di F $=>$ K è un estensione algebrica di $\phi (F)$
Non mi è chiaro il perché.
Sia $\phi : F-->K$ un omomorfismo di campi tale che K è una chiusura algebrica di F $=>$ K è un estensione algebrica di $\phi (F)$
Non mi è chiaro il perché.
Risposte
$K$ è, per definizione di chiusura algebrica, una estensione algebrica di $F$, e quindi di \(\phi(F)\), che gli è isomorfo.
OK, ma non mi è chiaro questo:
Sia $\alpha in K => EE 0!=p in F[X]$ t.c. $p(\alpha)=0$.
Ora, quale sarebbe il corrispettivo polinomio in $\phi(F)[X]$ che ha $\alpha$ come radice?
Sia $\alpha in K => EE 0!=p in F[X]$ t.c. $p(\alpha)=0$.
Ora, quale sarebbe il corrispettivo polinomio in $\phi(F)[X]$ che ha $\alpha$ come radice?
A meno di rinominare gli scalari, esattamente quello che, in \(F[X]\), ha \(\alpha\) come radice: \(F[X]\) e \(\phi F[X]\) sono anelli isomorfi, perché lo sono \(F\) e \(\phi F\).
E' completamente ovvio.
E' completamente ovvio.
Scusa, ma se per esempio prendiamo l'omomorfismo $\phi : QQ[root(3)(2)]-->QQ[root(3)(2),\alpha]$ (dove $\alpha=-1/root(3)(2)^2 + sqrt(3)/root(3)(2)^2 i$) t.c. $\phi (a+broot(3)(2)+croot(3)(2)^2) = a+b\alpha+c\alpha^2$.
$root(3)(2)$ annulla il polinomio $X-root(3)(2)$ ma non il corrispettivo polinomio in $\phi(QQ[root(3)(2)])[X]=QQ[\alpha] [X]$ che è $X-\alpha$
$root(3)(2)$ annulla il polinomio $X-root(3)(2)$ ma non il corrispettivo polinomio in $\phi(QQ[root(3)(2)])[X]=QQ[\alpha] [X]$ che è $X-\alpha$
Quello non è un omomorfismo, \(\phi(\sqrt[3]{2})^3\) è obbligato a fare 2 (perché \(0=\phi((\sqrt[3]{2})^3-2) = \phi(\sqrt[3]2)^3-\phi 2\)), non puoi mandarlo in \(\alpha\).
Si, scusami mi ero sbagliato a scrivere la radice complessa di $X^3-2$, ora ho corretto.
Comunque il ragionamento mi sembra tenga
Comunque il ragionamento mi sembra tenga
Non c'è "ragionamento" in quel che dici, hai affermato qualcosa, ma non c'è niente che smentisca la tesi: per quale motivo, assumendo che un certo \(\gamma\) sia radice di \(p(X)\in F[X]\), pretendi che \(\gamma\) resti radice del polinomio \(\phi_*p(X) \in \phi(F)[X]\)? Sarà \(\phi(\gamma)\) a esserlo...
(Uso questa notazione: se \(\phi : E\to F\)è un omomorfismo di anelli, \(\phi_* : E[X] \to F[X]\) manda il polinomio \(\sum a_i X^i\) nel polinomio \(\sum \phi(a_i) X^i\)).
(Uso questa notazione: se \(\phi : E\to F\)è un omomorfismo di anelli, \(\phi_* : E[X] \to F[X]\) manda il polinomio \(\sum a_i X^i\) nel polinomio \(\sum \phi(a_i) X^i\)).
Il mio punto è che vorrei dimostrare proprio che un qualsiasi elemento in $K$ ha un polinomio corrispettivo in $\phi(F)[X]$ che ha come radice quel elemento.
Ed è esattamente quello che è vero: ce l'ha in $F$, per ipotesi su come hai preso $K$, e quindi, trasportato lungo l'isomorfismo di anelli \(F[X]\cong \phi(F)[X]\), ce l'ha in \(\phi(F)[X]\). Ma non sarà, in generale, lo stesso polinomio con la stessa radice, ovviamente; dovrai "applicare \(\phi\) ovunque" (spero sia chiaro se lo scrivo così).
"megas_archon":Ma come fai ad applicare $phi$ a $gamma$ nel caso in cui $gamma$ non appartiene a $F$? La funzione $phi$ è definita solo su $F$.
Sarà \(\phi(\gamma)\) a esserlo...
Rispondigli tu se vuoi, io non potrò fino a domani...
Comincio a scrivere delle cose a cui ho pensato. Ma prima vorrei esprimere la mia sorpresa sul fatto che a te sembri che non ci sia niente da dimostrare, la cosa a me non sembra ovvia per niente. Inoltre da come scrivi (mi sto rivolgendo a megas_archon) mi sembra proprio che tu non abbia la minima ombra di un dubbio su quanto dici, quindi vorrei chiederti come semplificheresti il mio argomento che segue (che ho raggiunto dopo aver fatto delle ricerche).
Daniele_98: che libro stai leggendo?
Osservo che in generale un campo algebricamente chiuso non è necessariamente una estensione algebrica di ogni suo sottocampo, per esempio $CC//QQ$ non è un'estensione algebrica.
Abbiamo un campo $F$, una sua chiusura algebrica $K$ e un omomorfismo $phi:F to K$. Vogliamo dimostrare che $K$ è algebrico su $phi(F)$.
Se riusciamo ad estendere $phi$ a un isomorfismo $psi:K to K$ abbiamo finito. Infatti, se esiste questo $psi$, allora dato $alpha in K$ consideriamo $beta=psi^(-1)(alpha) in K$. Siccome $K//F$ è algebrica, esiste $P in F[x]$ tale che $P(beta)=0$. Applicando $psi$ all'uguaglianza $P(beta)=0$ e scrivendo $P=sum_i a_i x^i$ con $a_i in F$, siccome $psi$ estende $phi$ otteniamo $sum_i phi(a_i) alpha^i = 0$. Quindi $alpha$ è algebrico su $phi(F)$.
Quindi siamo ridotti a dimostrare che esiste un isomorfismo $psi:K to K$ la cui restrizione a $F$ è uguale a $phi$.
Consideriamo la famiglia $X$ delle coppie $(L,l)$ dove $L$ è un campo tra $F$ e $K$, e $l$ è un omomorfismo di campi $L to K$ (in particolare, è iniettivo). Diciamo che $(L,l) le (L',l')$ se $L$ è contenuto in $L'$ e $l$ è la restrizione di $l'$ a $L$. E' facile vedere che possiamo applicare il lemma di Zorn. Quindi esiste un elemento massimale $(M,m)$ in $X$.
Punto 1. $M=K$. Infatti, supponiamo che $M ne K$. Allora esiste $alpha in K$ tale che $alpha$ non appartiene a $M$. Siccome $K//F$ è algebrica, esiste $P=sum_i a_i x^i$, con $a_i in F$, tale che $P(alpha)=0$. Consideriamo $Q=sum_i phi(a_i) x^i in phi(F)[x]$. Siccome $K$ è algebricamente chiuso, esiste $beta in K$ tale che $Q(beta)=0$. Ora riusciamo ad estendere $m:M to K$ a un omomorfismo $gamma:M(alpha) to K$ che coincide con $m$ su $M$ e manda $alpha$ in $beta$ (questo è un fatto standard). Ma allora $(M(alpha),gamma)$ appartiene a $X$ e questo contraddice la massimalità di $(M,m)$. Quindi $M=K$.
Punto 2. $m:K to K$ è un isomorfismo. Sappiamo che è iniettivo, dobbiamo mostrare che è suriettivo. Qui mi sono perso, fatemi sapere se riuscite a mostrare la suriettività.
Daniele_98: che libro stai leggendo?
Osservo che in generale un campo algebricamente chiuso non è necessariamente una estensione algebrica di ogni suo sottocampo, per esempio $CC//QQ$ non è un'estensione algebrica.
Abbiamo un campo $F$, una sua chiusura algebrica $K$ e un omomorfismo $phi:F to K$. Vogliamo dimostrare che $K$ è algebrico su $phi(F)$.
Se riusciamo ad estendere $phi$ a un isomorfismo $psi:K to K$ abbiamo finito. Infatti, se esiste questo $psi$, allora dato $alpha in K$ consideriamo $beta=psi^(-1)(alpha) in K$. Siccome $K//F$ è algebrica, esiste $P in F[x]$ tale che $P(beta)=0$. Applicando $psi$ all'uguaglianza $P(beta)=0$ e scrivendo $P=sum_i a_i x^i$ con $a_i in F$, siccome $psi$ estende $phi$ otteniamo $sum_i phi(a_i) alpha^i = 0$. Quindi $alpha$ è algebrico su $phi(F)$.
Quindi siamo ridotti a dimostrare che esiste un isomorfismo $psi:K to K$ la cui restrizione a $F$ è uguale a $phi$.
Consideriamo la famiglia $X$ delle coppie $(L,l)$ dove $L$ è un campo tra $F$ e $K$, e $l$ è un omomorfismo di campi $L to K$ (in particolare, è iniettivo). Diciamo che $(L,l) le (L',l')$ se $L$ è contenuto in $L'$ e $l$ è la restrizione di $l'$ a $L$. E' facile vedere che possiamo applicare il lemma di Zorn. Quindi esiste un elemento massimale $(M,m)$ in $X$.
Punto 1. $M=K$. Infatti, supponiamo che $M ne K$. Allora esiste $alpha in K$ tale che $alpha$ non appartiene a $M$. Siccome $K//F$ è algebrica, esiste $P=sum_i a_i x^i$, con $a_i in F$, tale che $P(alpha)=0$. Consideriamo $Q=sum_i phi(a_i) x^i in phi(F)[x]$. Siccome $K$ è algebricamente chiuso, esiste $beta in K$ tale che $Q(beta)=0$. Ora riusciamo ad estendere $m:M to K$ a un omomorfismo $gamma:M(alpha) to K$ che coincide con $m$ su $M$ e manda $alpha$ in $beta$ (questo è un fatto standard). Ma allora $(M(alpha),gamma)$ appartiene a $X$ e questo contraddice la massimalità di $(M,m)$. Quindi $M=K$.
Punto 2. $m:K to K$ è un isomorfismo. Sappiamo che è iniettivo, dobbiamo mostrare che è suriettivo. Qui mi sono perso, fatemi sapere se riuscite a mostrare la suriettività.
Sto leggendo le dispense di Keith Conrad: https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/zorn2.pdf
Precisamente il Corollario 1.3 a pagina 2.
Precisamente il Corollario 1.3 a pagina 2.
Scusa, ma a me la dimostrazione del corollario 1.3 sembra chiarissima, qual è il problema?
Non si usa il fatto che hai scritto. Lui dice che $C_2//sigma(C_1)$ è algebrica, ma questo è ovvio, dato che $sigma(C_1)$ contiene $i_2(K)$ e $C_2//i_2(K)$ è algebrica.
Cioè lui sta usando il fatto che se $A subset B subset C$ sono campi e $C//A$ è algebrica allora anche $C//B$ è algebrica, ma questo è ovvio. Infatti se $c in C$ allora esiste $P in A[x]$ tale che $P(c)=0$, ma siccome $A subset B$ allora $P in B[x]$ e questo mostra che $c$ è algebrico su $B$.
Oppure ho capito male io?
Cerca di essere chiaro, qual è precisamente la frase che non capisci nella dimostrazione del corollario?
In generale, quando poni una domanda sul forum, è una buona idea fornire il massimo possibile di contesto e il massimo possibile di informazioni su cosa hai capito e cosa non hai capito. Ti stupirà sapere che spesso formulare bene la domanda ti porta quasi alla risposta.
Non si usa il fatto che hai scritto. Lui dice che $C_2//sigma(C_1)$ è algebrica, ma questo è ovvio, dato che $sigma(C_1)$ contiene $i_2(K)$ e $C_2//i_2(K)$ è algebrica.
Cioè lui sta usando il fatto che se $A subset B subset C$ sono campi e $C//A$ è algebrica allora anche $C//B$ è algebrica, ma questo è ovvio. Infatti se $c in C$ allora esiste $P in A[x]$ tale che $P(c)=0$, ma siccome $A subset B$ allora $P in B[x]$ e questo mostra che $c$ è algebrico su $B$.
Oppure ho capito male io?
Cerca di essere chiaro, qual è precisamente la frase che non capisci nella dimostrazione del corollario?
In generale, quando poni una domanda sul forum, è una buona idea fornire il massimo possibile di contesto e il massimo possibile di informazioni su cosa hai capito e cosa non hai capito. Ti stupirà sapere che spesso formulare bene la domanda ti porta quasi alla risposta.
Ma prima vorrei esprimere la mia sorpresa sul fatto che a te sembri che non ci sia niente da dimostrare, la cosa a me non sembra ovvia per niente.
Infatti non è ovvia. Ok, dipende, immagino. È uno di quei teoremi su morfismi di estensioni da (o verso anche?) chiusure. Se non erro ci sta una proprietà universale, ma sempre di lemma di Zorn si parla. Conrad glissa su quella roba, perché già ti ha dato dei teoremi sui morfismi di estensioni o chiusure.
@Martino mi riferivo alla prima frase della dimostrazione dove dice che $C_1$ è una estensione algebrica di $i_1(K)$.
@ Indrjo Dedej ci sono delle note di Conrad riguardo a questi teoremi?
@ Indrjo Dedej ci sono delle note di Conrad riguardo a questi teoremi?
Continuo a credere che non ci sia niente di omesso nella dimostrazione.
Cioè non sta ipotizzando che $K$ sia contenuto in $C_1$.
Se fai attenzione, nella dimostrazione non usa mai il fatto che $K$ è contenuto in $C_1$. Questo è perché non sta proprio supponendo che $K$ sia contenuto in $C_1$.
Sei d'accordo?
La tua affermazione non c'entra col corollario. La tua affermazione è la seguente.
(*) Se $C$ è una chiusura algebrica di un suo sottocampo $K$ e $phi:K to C$ è un omomorfismo di campi, allora $C$ è algebrico su $phi(K)$.
Non è vera: è noto che $CC$ ha sottocampi propri isomorfi a $CC$, cioè esiste un omomorfismo non suriettivo $phi:CC to CC$. Ora $CC$ non può essere algebrico su $phi(CC)$ perché $phi(CC) cong CC$ non ha estensioni algebriche proprie (essendo algebricamente chiuso). Sei d'accordo?
"Daniele_98":Qui dobbiamo capire cosa intende Conrad per "estensione di campi". Da quanto mi è dato capire, per estensione di campi lui intende un omomorfismo tra due campi (necessariamente iniettivo). Quindi per esempio quando dice "sia $C_1$ una chiusura algebrica di $K$ con immersione $i_1:K to C_1$" intende proprio che $C_1$ è chiusura algebrica del suo sottocampo $i_1(K)$.
@Martino mi riferivo alla prima frase della dimostrazione dove dice che $C_1$ è una estensione algebrica di $i_1(K)$.
Cioè non sta ipotizzando che $K$ sia contenuto in $C_1$.
Se fai attenzione, nella dimostrazione non usa mai il fatto che $K$ è contenuto in $C_1$. Questo è perché non sta proprio supponendo che $K$ sia contenuto in $C_1$.
Sei d'accordo?
La tua affermazione non c'entra col corollario. La tua affermazione è la seguente.
(*) Se $C$ è una chiusura algebrica di un suo sottocampo $K$ e $phi:K to C$ è un omomorfismo di campi, allora $C$ è algebrico su $phi(K)$.
Non è vera: è noto che $CC$ ha sottocampi propri isomorfi a $CC$, cioè esiste un omomorfismo non suriettivo $phi:CC to CC$. Ora $CC$ non può essere algebrico su $phi(CC)$ perché $phi(CC) cong CC$ non ha estensioni algebriche proprie (essendo algebricamente chiuso). Sei d'accordo?
Grazie ora mi è chiaro.
Mi potresti fare un esempio in particolare di endomorfismo nel campo $CC$ di cui parli?
Mi potresti fare un esempio in particolare di endomorfismo nel campo $CC$ di cui parli?
Non è un endomorfismo, è un omomorfismo non suriettivo $phi:CC to CC$.
Considera $E=overline(CC(T))$, una chiusura algebrica del campo dei quozienti dell'anello dei polinomi $CC[T]$. Allora $E$ è algebricamente chiuso, contiene $CC$ e ha la stessa cardinalità di $CC$ (questo si dimostra facilmente).
C'è un risultato noto che dice che due campi algebricamente chiusi e non numerabili che hanno la stessa caratteristica e la stessa cardinalità sono necessariamente isomorfi. Quindi $E cong CC$.
Quindi $E$ è un campo isomorfo a $CC$ che contiene $CC$ come sottocampo proprio. Questo significa appunto (a meno di cambiare i nomi agli elementi) che $CC$ ha un sottocampo proprio, chiamiamolo $F$, isomorfo a $CC$. Prendiamo un isomorfismo $phi:CC to F$. Estendendo il codominio (da $F$ a $CC$, che è un suo sovracampo) otteniamo un omomorfismo non suriettivo (nota bene: NON suriettivo) $phi:CC to CC$.
Considera $E=overline(CC(T))$, una chiusura algebrica del campo dei quozienti dell'anello dei polinomi $CC[T]$. Allora $E$ è algebricamente chiuso, contiene $CC$ e ha la stessa cardinalità di $CC$ (questo si dimostra facilmente).
C'è un risultato noto che dice che due campi algebricamente chiusi e non numerabili che hanno la stessa caratteristica e la stessa cardinalità sono necessariamente isomorfi. Quindi $E cong CC$.
Quindi $E$ è un campo isomorfo a $CC$ che contiene $CC$ come sottocampo proprio. Questo significa appunto (a meno di cambiare i nomi agli elementi) che $CC$ ha un sottocampo proprio, chiamiamolo $F$, isomorfo a $CC$. Prendiamo un isomorfismo $phi:CC to F$. Estendendo il codominio (da $F$ a $CC$, che è un suo sovracampo) otteniamo un omomorfismo non suriettivo (nota bene: NON suriettivo) $phi:CC to CC$.
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