Dimostrare che di radici n-esime ne esistono \( n \) distinte (in \( \mathbb{C} \))

[giuscri]

Questione super-inflazionata; ma mi piacerebbe dimostrarla con degli strumenti semplici* --per questo aspetto ancora un po' prima di cercare su Google.

Sia \( z \in \mathbb{C} \), ed \( n \) un intero positivo. Dimostrare che esiste un complesso \( \mathbb{C} \) tale che
\[ w^n = z \]
e dimostrare che di questi numeri \( w \) ne esistono effettivamente \( n \) distinti (se \( z \neq 0 \)).

La prima parte e' piuttosto semplice --ed e' difficile non andare a memoria, fra quanto gia' visto in giro: definisco il numero**
\[ w := \rho^{1/n} e^{i \theta /n} \]
ed ho finito.

Non ho invece nessuna idea per dimostrare che quei numeretti \( w \) siano \( n \) (gia' qui non saprei) e siano distinti ...

Ringrazio per l'aiuto,
Giuseppe

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* Lo si deve poter fare dato che la dimostrazione richiesta qui sopra e' un esercizio di introduzione al campo complesso --trovato su un libricino, stamattina.
** Che
\[ \Big[ \, e^{i \theta /n} \, \Big]^n \equiv e^{i \theta} \]
lo si dimostra subito.

[Pappappero1]

Direi che ci sono principalmente due modi, entrambi facili, ma che comunque hanno bisogno qualche rudimentale strumento di algebra.

Primo modo:
Fissato $z$ non nullo in $\CC$, il polinomio in $w$, $f=w^n - z$ ha $n$ radici in $\CC$ (contate con molteplicità) - questo si giustifica con Ruffini. Se dimostri che non ha radici multiple, vinci. Ma le radici multiple di un polinomio sono le radici che il polinomio ha in comunque con la sua derivata (osservazioni facili di Analisi 1 o Algebra 1). Ti calcoli la derivata e vedi che succede.

Secondo modo:
Troviamo tutte le radici. Detto $z=\rho e^{i\theta} $, chiamiamo $w_k = \rho^{1/n} \exp ((i \theta +2 i \pi k) /n)$ per $k$ che va da $0$ a $n-1$. Questi $w_k$ sono tutte soluzioni. Resta da far vedere che sono tutte distinte, ma si tratta di un esercizietto facile che sfrutta le proprietà dell'esponenziale e/o un po' di trigonometria.