Dimostrare che $Aut(S_n)=S_n$ se $n\ne\ 2,6$

[alvinlee881]

Dimostrare che $Aut(S_n)=S_n$ se $n\ne\ 2,6$

nota: il segno di uguale è da intendersi come il segno di isomorfismo

[Akina1]

Io considererei il gruppo degli automorfismi interni di un gruppo G..questo gruppo I(G) è $~=$ a G/Z(G) dove Z(G) è il centro del gruppo..Poi faccio vedere che in $S_n$ il centro è banale e quindi per n≠6 $S_n$ ha solo automorfismi interni.Poi visto che in un gruppo I(G) è un sgr normale Aut(G)..allora Aut($S_n$)$~=$I($S_n$) $~=$ $S_n$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao.

"Akina":per n≠6 $S_n$ ha solo automorfismi interni.

Potresti giustificare questa affermazione?

[alvinlee881]

Non è detto

, questo è proprio quello che si deve dimostrare. Te hai solo dimostrato che $Int(S_n)$ è contenuto in $Aut(S_n)$. Ora si dovrebbe dimostrare l'altra inclusione.

@martino
Sembra strano eh? questo fatto ci è stato diciamo raccontato dal prof di strutture algebriche a lezione, ma senza alcuna dimostrazione. MI sono quindi rivolto al forum per vedere se si riesce a dimostrare, sia che per $n!=6$ è proprio $S_n$, che per $n=6$ $Aut(S_6)$ è isomorfo al prodotto semidiretto di $S_n$ per $ZZ//(2ZZ)$, per una qualche azione a me ignota. Non deve essere un problema facile, dato che ce l'ha solo enunciato...

[mod="Martino"]Sistemato gli accenti [/mod]

[fu^2]

"alvinlee88":Non è detto

, questo è proprio quello che si deve dimostrare. Te hai solo dimostrato che $Int(S_n)$ è contenuto in $Aut(Sn)$. Ora si dovrebbe dimostrare l'altra inclusione.

@martino
Sembra strano eh? questo fatto ci è stato diciamo raccontato dal prof di strutture algebriche a lezione, ma senza alcuna dimostrazione. MI sono quindi rivolto al forum per vedere se si riesce a dimostrare, sia che per $n!=6$ [ proprio $S_n$, che per $n=6$ $Aut(S_6)$ è isomorfo al prodotto semidiretto di $S_n$ per $ZZ//(2ZZ)$, per una qualche azione a me ignota. Non deve essere un problema facile, dato che ce l'ha solo enunciato...

bestiale, le accento sulle e per come le avevi fatte te funzionavano come i dollari ora si legge meglio

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ci sono novita' su questo fronte?
Io ci sto ancora pensando.
In realta' e' un fatto di cui faccio uso continuamente (piu' precisamente uso il fatto che $Aut(A_n) = S_n$ se $n ne 2,3,6$) ma non ne ho ancora visto una dimostrazione.

[alvinlee881]

Qui ci sono novitè, ma non ho ancora avuto il tempo di leggermi ammodo la dimostrazione.
http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... ?f=6&t=744

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ho trovato anch'io una dimostrazione, e' abbastanza interessante, ma non pulita come pensavo. Dimostra che ogni automorfismo di $A_n$ che manda $3$-cicli in $3$-cicli e' il coniugio tramite un $g in S_n$, e poi che se $n ge 5$ e $n ne 6$ gli automorfismi di $A_n$ mandano $3$-cicli in $3$-cicli. Per fare questo gioca un po' con gli ordini dei centralizzanti.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Riesumo la discussione: ho avuto modo di pensarci produttivamente.

Diamo per buono che in [tex]S_n[/tex] il centralizzante di un prodotto di [tex]t[/tex] 3-cicli disgiunti ha ordine [tex]3^t \cdot t! \cdot (n-3t)![/tex].

Siccome un automorfismo [tex]\gamma[/tex] di [tex]S_n[/tex] manda il centralizzante di [tex]x[/tex] nel centralizzante di [tex]\gamma(x)[/tex], prendendo per x un 3-ciclo si ottiene una relazione del tipo:

[tex]3 (n-3)! = 3^t \cdot t! \cdot (n-3t)![/tex] (*)

Osservo che se [tex]\gamma[/tex] è interno allora [tex]t=1[/tex]. Mostriamo che [tex]t[/tex] è sempre [tex]1[/tex] a meno che [tex]n=6[/tex].
Dividendo per [tex](n-3t)![/tex] l'uguaglianza (*) diventa:

[tex]\binom{n-3}{n-3t} \cdot (3t-3)! = 3^{t-1} \cdot t![/tex]
In particolare [tex](3t-3)(3t-4)...(t+1) \leq 3^{t-1}[/tex].

Quindi se [tex]t \geq 2[/tex] otteniamo un prodotto di [tex]2t-3[/tex] interi maggiori o uguali di 3 il cui risultato è minore o uguale di [tex]3^{t-1}[/tex], e questo implica [tex]2t-3 \leq t-1[/tex], cioè [tex]t \leq 2[/tex], cioè [tex]t=2[/tex]. Sostituendo in (*) otteniamo proprio [tex]n=6[/tex]. Ecco perché il 6 si comporta così male!

Questo non dimostra che [tex]Aut(S_6) \neq S_6[/tex], ma solo che il 6 potrebbe creare problemi. Andando poi a studiare direttamente [tex]S_6[/tex] si vede che in effetti li crea.

[angus89]

Per $S_6$ ecco una dispensa del mio prof
http://www.dm.unipi.it/~gaiffi/Algebra1/Pages/autesterno.pdf

Per il teorema generale ho una dimostrazione davvero carina, se ne trovo il tempo la metto domani...aimè son sotto esami...