Dimensione di Krull di un quoziente
Ciao a tutti!
C'è un esercizio che sicuramente sarà banale ma non riesco a risolvere in modo chiaro. Ogni volta che penso di aver capito l'idea non riesco a scrivere una dimostrazione precisa. Il testo è questo:
Sia $A$ un anello locale Noetheriano e sia $x_1,\ldots,x_d$ un suo sistema di parametri. Provare che $$\dim A/(x_1,\dots,x_i)=d-i$$ per ogni $i=1,\ldots, d$.
Per la distuguaglianza $\le$ sono a posto con l'Hauptidealsatz. Ma non riesco proprio a mettere giù per bene l'altra disuguaglianza. Credo di non poter usare niente di molto sofisticato, solo le prime definizioni in teoria della dimensione di Krull. Qualcuno può aiutarmi, per cortesia?
C'è un esercizio che sicuramente sarà banale ma non riesco a risolvere in modo chiaro. Ogni volta che penso di aver capito l'idea non riesco a scrivere una dimostrazione precisa. Il testo è questo:
Sia $A$ un anello locale Noetheriano e sia $x_1,\ldots,x_d$ un suo sistema di parametri. Provare che $$\dim A/(x_1,\dots,x_i)=d-i$$ per ogni $i=1,\ldots, d$.
Per la distuguaglianza $\le$ sono a posto con l'Hauptidealsatz. Ma non riesco proprio a mettere giù per bene l'altra disuguaglianza. Credo di non poter usare niente di molto sofisticato, solo le prime definizioni in teoria della dimensione di Krull. Qualcuno può aiutarmi, per cortesia?
Risposte
Ciao!
Credo ti possa essere d'aiuto il corollario 10.9 del libro Commutative algebra di D. Eisenbud:
Corollario 10.9 Sia \((A, \mathfrak{m})\) un anello locale qualsiasi e sia $M$ un modulo su $A$ finitamente generato, allora per ogni \(x\in \mathfrak m\): \[\text{dim} (M/xM)\ge \text dim(M)-1.\]
Credo ti possa essere d'aiuto il corollario 10.9 del libro Commutative algebra di D. Eisenbud:
Corollario 10.9 Sia \((A, \mathfrak{m})\) un anello locale qualsiasi e sia $M$ un modulo su $A$ finitamente generato, allora per ogni \(x\in \mathfrak m\): \[\text{dim} (M/xM)\ge \text dim(M)-1.\]
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