Dim. che Z non ha zero divisori

[bobus1]

L'esercizio 4.13 dell'Algebra di Di Martino dice: dati \(\displaystyle a,b \in \mathbb{Z} \), dimostrare che \(\displaystyle ab = 0 \) se e solo se \(\displaystyle a=0 \) o \(\displaystyle b =0 \).

Se conoscete un buon libro o qualche risorsa online dove vengono dimostrate questa e altre proprieta' base degli interi fatemi sapere, perche' ho provato a cercare un po' con Google ma non ho trovato niente che mi andasse bene. Una possibile dimostrazione e' la seguente:

Sia \(\displaystyle ab = 0 \).

Se \(\displaystyle a=0 \) abbiamo finito, quindi supponiamo \(\displaystyle a \ne 0 \).
Se \(\displaystyle a < 0 \) possiamo moltiplicare ambedue i membri di \(\displaystyle ab = 0 \) per \(\displaystyle -1 \) ottenendo \(\displaystyle (-1*a)b = 0 \), dove \(\displaystyle (-1*a) > 0 \).
Quindi possiamo supporre senza perdita' di generalita' che \(\displaystyle a > 0 \), perche' possiamo sempre portarci in questa situazione.
Un ragionamento simile applicato a \(\displaystyle b \), ci permette di supporre che \(\displaystyle b \geq 0 \).

Se per assurdo \(\displaystyle b \geq 1 \)
allora \(\displaystyle b + 1 \geq 2 \)
da cui \(\displaystyle a(b + 1) \geq 2a \)
percio' \(\displaystyle ab + a \geq 2a \)
qundi \(\displaystyle a \geq 2a \)
infine \(\displaystyle 0 \geq a \) che e' in contraddizione con la nostra ipotesi su \(\displaystyle a \).

Quindi \(\displaystyle b=0 \).

Viceversa sia \(\displaystyle a = 0 \).
Allora \(\displaystyle a = a+a \)
quindi \(\displaystyle ab = (a+a)b=ab+ab\)
da cui \(\displaystyle ab = 0 \).
Sostituendo \(\displaystyle a \) con \(\displaystyle b \) si puo' fare lo stesso ragionamento.

Grazie!

[anto_zoolander]

\(\displaystyle \Leftarrow \)
Se $a=0$ o $b=0$ allora $ab=0$ banalmente

\(\displaystyle \Rightarrow \)
supponiamo per assurdo che siano $ane0$ e $bne0$(ovvero la negazione della tesi)
Allora $abne0$ da cui si ha la contraddizione
Dunque almeno uno tra $a$ o $b$ deve essere nullo

[orsoulx]

"anto_zoolander":Se a=0 o b=0 allora ab=0 banalmente

Assumendo la tesi vera, le dimostrazioni sono tutte banali
Ciao e buone feste.

[anto_zoolander]

@orsoulx

bella questa
Naturalmente intendevo che si avrebbero i tre casi
$0b=0,a0=0,00=0$

Naturalmente se non ha dimostrato che $0$ è l'elemento assorbente

$a0=a(0+0)=a0+a0$ da cui $a0=a0+a0$

Sommando membro a membro $-a0$ so ottiene $a0=0$

In più ci sarebbe da mostrare che lo $0$ è:

- elemento neutro rispetto alla somma
- distributiva a destra e sinistra
- esistenza dell'opposto

Ma penso che queste le abbia fatte