Dim. che la Relaz $m=2^h . n$ con $h in Z$ è di Equivalenza.

[Sandruz1]

Salve a tutti, nel compito di esame ho trovato questa traccia e a causa della mia impreparazione e delle poche esercitazioni in classe, non sono riuscito a farla.

Sia R la relazione su $N$ tale che per ogni $n,m in N$ $nRm$ $<=>$ esiste $h in Z$ tale che $m=2^h * n$

Si verifichi che R è una relazione di equivalenza e si calcoli la classe di equivalenza $[2]_R$

Allora, verifico che la relazione è Riflessiva, Simmetrica e Transitiva.

Riflessiva:

$nRn$ $<=>$ $n= 2^h*n$
Poichè esiste $0 in Z$ tale che $h=0$. $nRn$.

Simmetrica:

Qui mi perdo.

$nRm$ $<=>$ $m=2^h * n$
ipotesi $mRn$ $<=>$ $n=2^h * m$
mi potreste dare dei suggerimenti per continuare?? Cosa devo ottenere?

[Paolo902]

Ciao!

Per la simmetrica potresti ragionare così: supponi $n mathcal R m$. Vuoi provare che $m mathcal R n$.

$n mathcal R m => EE h in ZZ " tale che " m=2^hn$

Da $m=2^hn$ segue (moltiplicando ambo i membri per $2^(-h)$) questo: $m2^(-h)=n$. Ok?

Quindi hai che $n=2^(-h)m$; ma se $h in ZZ$ allora anche il suo opposto sta in $ZZ$.
Et voilà, direi che hai finito: $n mathcal R m$.

Chiaro?

Se hai altri dubbi siamo qui.

[Sandruz1]

"Paolo90":Ciao!

Per la simmetrica potresti ragionare così: supponi $n mathcal R m$. Vuoi provare che $m mathcal R n$.

$n mathcal R m => EE h in ZZ " tale che " m=2^hn$

Da $m=2^hn$ segue (moltiplicando ambo i membri per $2^(-h)$) questo: $m2^(-h)=n$. Ok?

Quindi hai che $n=2^(-h)m$; ma se $h in ZZ$ allora anche il suo opposto sta in $ZZ$.
Et voilà, direi che hai finito: $n mathcal R m$.

Chiaro?

Se hai altri dubbi siamo qui.

Grazie, sei un genio. Adesso provo a fare la transitiva.

[Paolo902]

"Sandruz":
Grazie, sei un genio. Adesso provo a fare la transitiva.

Grazie, ma stai esagerando... Prova con la transitiva e poi facci sapere...

[Sandruz1]

"Paolo90":[quote="Sandruz"]
Grazie, sei un genio. Adesso provo a fare la transitiva.

Grazie, ma stai esagerando... Prova con la transitiva e poi facci sapere... [/quote]

Bene ho fatto anche la Transitiva:

$nRm <=> m=2^h * n$
$mRp <=> p=2^h * m$

ipotesi: $nRp <=>$ $p=2^h *n <=> p=m$ e quindi $nRp$

Adesso devo trovare la classe di equivalenza $[2]_R$

Come si fa?

[mistake89]

attenzione che questa dimostrazione non va bene...! Anzitutto nessuno ci dice che gli esponenti $h$ debbano essere uguali, anzi...
Abbiamo:
$mRphArrp=2^(h)m$
$pRnhArrn=2^kp$
quindi come possiamo continuare...

[Sandruz1]

Allora io ho

$nRm <=> m=2^h * n$
$mRp <=> p=2^k * m$

dobbiamo provare se $nRp <=> p=2^z * n$
giusto?

Vediamo:

$p= 2^z * n$

$p= 2^z * m/2^h => 2^z^-h * m => 2^z^-k * 2^k*n=>2^z*n$ quindi $nRp$

Giusto?

[mistake89]

"Sandruz":Allora io ho

$nRm <=> m=2^h * n$
$mRp <=> p=2^k * m$

da cui $p=2^k*2^h*n$ per una nota proprietà della potenze abbiamo $p=2^(k+h)*n$, osservi che $k+h$ appartiene ancora a $ZZ$ e quindi risulta $nRp$

[Sandruz1]

Oddio e io cosa avevo combinato? Avevo fatto $2^z^-^h$ penso sia la stessa cosa.

Ok adesso la classe di equivalenza $[2]_R$, ossia tutti le combinazioni tale che m=2?

Scusami, il problema è che non ho esercizi e la sola teoria non basta.

[Sandruz1]

"Sandruz":Oddio e io cosa avevo combinato? Avevo fatto $2^z^-^h$ penso sia la stessa cosa.

Ok adesso la classe di equivalenza $[2]_R$, ossia tutti le combinazioni tale che m=2?

Scusami, il problema è che non ho esercizi e la sola teoria non basta.

Mi aiutereste per favore??

Altra cosa, ho un esercizio che non riesco a finire. Devo dimostrare se $a*b=a+b+ab$ è gruppo abeliano.

Ho visto che è transitiva e ho trovato l'elemento neutro (0, anche se non sono riuscito a dimostrarlo)
non riesco a trovare l'inverso, potreste aiutarmi per favore?