Difficoltà passo induttivo
Salve a tutti 
ragazzi vi chiedo scusa per la domanda banale ma non riesco a capire questo passo:
traccia :
$1^2 + 2^2 +3^2 + .. + n^2 = [n(n+1)+(2n+1)]/6$
ok il passo induttivo recita così :
$1^2 + 2^2 +3^2 + .. + n^2 + (n+1)^2 = [(n+1)(n+2)+(2n+3)]/6$
perdonatemi ma non riesco a capire perchè questo $(2n+3) $ in particolare perchè 3??!?!??!?
non dovrebbe essere $2n+2$ ?!?
Mi spiegate il ragionamento che c'è dietro e qual'è la maniera giusta di ragionare quando sì fa il passo induttivo per n+1 come diventano i termini dell'uguaglianza ?
se qualche persona gentile riesce a spiegarmelo in maniera molto elementare gliene sarei molto grato.
Ho capito lo svolgimento, le trasformazioni e tutto fino al risultato non riesco a capire il ragionamento per cui lì si trova 3.
Grazie in anticipo
ragazzi vi chiedo scusa per la domanda banale ma non riesco a capire questo passo:
traccia :
$1^2 + 2^2 +3^2 + .. + n^2 = [n(n+1)+(2n+1)]/6$
ok il passo induttivo recita così :
$1^2 + 2^2 +3^2 + .. + n^2 + (n+1)^2 = [(n+1)(n+2)+(2n+3)]/6$
perdonatemi ma non riesco a capire perchè questo $(2n+3) $ in particolare perchè 3??!?!??!?
non dovrebbe essere $2n+2$ ?!?
Mi spiegate il ragionamento che c'è dietro e qual'è la maniera giusta di ragionare quando sì fa il passo induttivo per n+1 come diventano i termini dell'uguaglianza ?
se qualche persona gentile riesce a spiegarmelo in maniera molto elementare gliene sarei molto grato.
Ho capito lo svolgimento, le trasformazioni e tutto fino al risultato non riesco a capire il ragionamento per cui lì si trova 3.
Grazie in anticipo
Risposte
Partiamo dall'inizio. Prima di tutto penso che la forma corretta sia
$\sum_(i=1)^ni^2=1+2^2+3^2+.....+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6$
Per $i=0$ la tesi è banalmente vera infatti $1^2=(2)*(3)/6=1$
Supponiamo che proposizione sia vera per $P_n$ e dimostriamola per $P_(n+1)$
e cioè arriviamo a mostrare che $\sum_(i=1)^(n+1)i^2=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6=((n+1)(n+2)(2n+3))/6$
Abbiamo che $\sum_(i=1)^(n+1)i^2=\sum_(i=1)^ni^2+(n+1)^2$ <-- ciò è vero perché l'ultimo termine della somma è proprio (n+1)^2.
Abbiamo supposto vera $P_n : \sum_(i=1)^ni^2=(n(n+1)(2n+1))/6$
pertanto per ipotesi induttiva
$\sum_(i=1)^(n+1)i^2=\sum_(i=1)^ni^2+(n+1)^2=(n(n+1)(2n+1))/6+6(n+1)^2/6=$
$=1/6*(n+1)(n(2n+1)+6n+6)=1/6*(n+1)(2n^2+7n+6)$ essendo $2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$ ne segue allora che
$\sum_(i=1)^(n+1)i^2=\sum_(i=1)^ni^2+(n+1)^2=$
$=(n(n+1)(2n+1))/6+6(n+1)^2/6=1/6*(n+1)(n(2n+1)+6n+6)=$
$=1/6*(n+1)(2n^2+7n+6)=1/6(n+1)(n+2)(2n+3)$ la tesi
$\sum_(i=1)^ni^2=1+2^2+3^2+.....+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6$
Per $i=0$ la tesi è banalmente vera infatti $1^2=(2)*(3)/6=1$
Supponiamo che proposizione sia vera per $P_n$ e dimostriamola per $P_(n+1)$
e cioè arriviamo a mostrare che $\sum_(i=1)^(n+1)i^2=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6=((n+1)(n+2)(2n+3))/6$
Abbiamo che $\sum_(i=1)^(n+1)i^2=\sum_(i=1)^ni^2+(n+1)^2$ <-- ciò è vero perché l'ultimo termine della somma è proprio (n+1)^2.
Abbiamo supposto vera $P_n : \sum_(i=1)^ni^2=(n(n+1)(2n+1))/6$
pertanto per ipotesi induttiva
$\sum_(i=1)^(n+1)i^2=\sum_(i=1)^ni^2+(n+1)^2=(n(n+1)(2n+1))/6+6(n+1)^2/6=$
$=1/6*(n+1)(n(2n+1)+6n+6)=1/6*(n+1)(2n^2+7n+6)$ essendo $2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$ ne segue allora che
$\sum_(i=1)^(n+1)i^2=\sum_(i=1)^ni^2+(n+1)^2=$
$=(n(n+1)(2n+1))/6+6(n+1)^2/6=1/6*(n+1)(n(2n+1)+6n+6)=$
$=1/6*(n+1)(2n^2+7n+6)=1/6(n+1)(n+2)(2n+3)$ la tesi
Perchè avendo 2n + 1 (pensa a 2n come 2 * n) e sostituendo n con n+1, ottieni 2(n+1)+1 da cui 2n + 2 + 1 e infine 2n + 3.
Grazie ad entrambi =)
@vinxs89 semplice, chiaro , conciso, esaustivo!
@ Kashaman hai complicato un pò la cosa ma ad ogni modo anche se volevo solo capire quel 3 da dove saltava fuori,grazie mille per aver proposta anche la soluzione
@vinxs89 semplice, chiaro , conciso, esaustivo!
@ Kashaman hai complicato un pò la cosa ma ad ogni modo anche se volevo solo capire quel 3 da dove saltava fuori,grazie mille per aver proposta anche la soluzione
complicata dici?
Chiara forse, visto che la tua somma di partenza era sbagliata.
Prego comunque
Chiara forse, visto che la tua somma di partenza era sbagliata.
Prego comunque
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