Difficoltà col principio di induzione - esercizio

[1knos3]

Salve a tutti,
stavo provando degli esercizi sul principio di induzione poichè non mi è molto chiaro come si dimostri l'ipotesi.. Porto un esempio:
"Dimostrare che $ n^2> 2n + 1 ; per qualsiasi n > 2 $"

Verifico per P(3): 9>7 che è vera
Hp.: $n^2>2n+1$
Th.: $(n+1)^2>2(n+1)+1 = 2n+3$

$(n+1)^2=n^2+2n+1>(2n+1)+2n+1=2n+3+2n-1$

ed ora? come proseguo e perchè?

Grazie per l'attenzione e le risposte

[Gi81]

Semplicemente, $2n-1>0$, quindi $2n+3+2n-1>2n+3$

[1knos3]

Giusto grazie proprio non l'avevo visto/capito

[1knos3]

ed invece per la seguente, dove sbaglio?
"Dimostrare che $ 2+4+6+...+2n=n(n+1) $ , con n appartenente ad N escluso lo 0 "

Provo per P(1): 2=2
hp.: $ 2n= n(n+1) $
Th.: $ 2(n+1)=(n+1)(n+2) $
$ = n^2+2n+n+2 $

$ 2(n+1)=2n+2=n(n+1)+2=n^2+n+2 $

Ma non so come proseguire o se ho commesso qualche errore..

[Gi81]

Hai scritto male l'ipotesi e la tesi... riguarda con attenzione

[menale1]

$ 2(n+1)=n^2+3n+2 ! $

[1knos3]

Sì avevo sbagliato a scrivere ipotesi e tesi, trovato l'errore, grazie ancora
Disturbo ancora della vostra cortesia per un altro esercizio simile, poi per oggi mi fermo

$ 2^n>n $ con n appartenente ad N

Per P(0): 1 > 0 ed è vera
Supposta vera hp.: $ 2^n>n $
Provo th.: $ 2^(n+1)>n+1 $

$ 2^(n+1) = 2*2^n >n *2 $

ed ora non saprei come proseguire..

Grazie ancora

[Gi81]

Come prima, manca solo l'ultimo passaggio: $2n>=n+1$
questo è vero perchè è equivalente a $n>=1$

[1knos3]

No questa volta non ci sono.. La consegna non mi esclude all'inizio lo 0, perciò non mi ritrovo col passaggio finale..

[@melia]

Puoi aggirare l'ostacolo verificando direttamente la validità per n=0 e n=1, mentre per $n>1$ usi la dimostrazione per induzione.

[1knos3]

Si può fare provare sia per n=0 che per n=1 e poi considerare l'insieme dei numeri naturali da n>1?
Ok allora ci sono, grazie mille.

Invece nel seguente non saprei come partire.. $ 1-4+9-16+...+(-1)^(n-1)*n^2= $ $ (-1)^(n-1)*(1+2+...+n)= $ $ (-1)^(n-1)*[n*(n+1)]/2 $ con n appartenente ad N e 0 escluso.
Come dovrei farla? Grazie ancora dell'aiuto