Differenza tra un campo ed un gruppo
Un campo possiamo definirlo come un insieme $K$ non vuoto nel quale valgono la somma ed il prodotto, la commutatività, associatività, esistenza dell'elemento neutro e dell'opposto, e da questa definizione non riesco a differenziarlo da un gruppo. Mi sapreste aiutare? 
Risposte
La differenza più evidente penso che sia il fatto che un gruppo ha una sola operazione, mentre il campo ne ha due.
il gruppo avrebbe solo la somma? perchè?
[xdom="Martino"]Sposto in Algebra. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
"davidedesantis":
il gruppo avrebbe solo la somma? perchè?
Gruppo, anello, campo, eccetera sono strutture su insiemi. Prendi un insieme, lo munisci di 1 operazione binaria (non necessariamente il +) e vedi se rispetta le condizioni per essere un gruppo. Poi prendi lo stesso insieme, lo munisci di 2 operazioni binarie e vedi se è un campo.
Guarda la definizione di gruppo: l'operazione usata è una sola.
Ad esempio l'insieme $ZZ$ e l'operazione addizione rappresntano un gruppo?
L'insieme $QQ$ e le operazioni addizione e moltiplicazione un campo?
L'insieme $QQ$ e le operazioni addizione e moltiplicazione un campo?
$\mathbb{Q}$ è un campo...
"davidedesantis":
$\mathbb{Q}$ è un campo...
Non voglio fare il precisino, ma il punto è proprio questo: $\mathbb{Q}$ così com'è è solo un insieme, mentre munito delle operazioni di somma e prodotto è un campo.
Per gio73: e $\mathbb{Z}$ munito delle operazioni di somma e prodotto cos'è?
Un anello, perchè ha l'opposto per la somma, ma non l'inverso per la moltiplicazione.
Provo a spiegarmi: dato un qualsiasi numero $inZZ$ posso sempre trovarne uno per cui la somma mi dà l'elemento neutro rispetto all'addizione: $+5-5=0$;
non funziona con la moltiplicazione dato qualsiasi numero $inZZ$ non ce n'è un altro per cui il prodotto mi dia l'elemento neutro della moltiplicazione: $-11*?=1$.
Mi tocca "ingrandire" l'insieme e passare a $QQ$, infatti: $-11*(-1/11)=1$.
Corretto?
Provo a spiegarmi: dato un qualsiasi numero $inZZ$ posso sempre trovarne uno per cui la somma mi dà l'elemento neutro rispetto all'addizione: $+5-5=0$;
non funziona con la moltiplicazione dato qualsiasi numero $inZZ$ non ce n'è un altro per cui il prodotto mi dia l'elemento neutro della moltiplicazione: $-11*?=1$.
Mi tocca "ingrandire" l'insieme e passare a $QQ$, infatti: $-11*(-1/11)=1$.
Corretto?
"gio73":
non funziona con la moltiplicazione dato qualsiasi numero $inZZ$ non ce n'è un altro per cui il prodotto mi dia l'elemento neutro della moltiplicazione: $-11*?=1$.
Mi tocca "ingrandire" l'insieme e passare a $QQ$, infatti: $-11*(-1/11)=1$.
Corretto?
Volendo proprio fare i pignoli, ci sono un paio di elementi di $ZZ$ aventi l'inverso per il prodotto
Comunque per essere un campo dovrebbero averlo tutti tranne l'elemento neutro per la somma.
Vediamo... l'inverso d +1 è +1 e l'inverso di -1 è -1?
ragazzi non vi seguo tanto...munire un insieme tipo $\mathbb{Z}$ di alcune operazione che significa effettivamente? cosa c'entra l'inverso, l'elemento neutro..?
Scusate però sarebbe più corretto usare la notazione $(A,+,*)$ per indicare un anello/campo dove $+$ e $*$ sono due operazioni binarie.
In $(ZZ,+,*)$ si ha che gli unici elementi invertibili sono $1$ e $-1$ in quanto $1*1^-1=1*(1/1)=1 in ZZ$ e $-1*-1^-1=-1*(1/-1)=1 in ZZ$, dove $1$ è l'elemento neutro moltiplicativo dell'anello degli interi.
@Davide: quali sono le definizioni di anello e campo?
In $(ZZ,+,*)$ si ha che gli unici elementi invertibili sono $1$ e $-1$ in quanto $1*1^-1=1*(1/1)=1 in ZZ$ e $-1*-1^-1=-1*(1/-1)=1 in ZZ$, dove $1$ è l'elemento neutro moltiplicativo dell'anello degli interi.
@Davide: quali sono le definizioni di anello e campo?
La prof ci ha definito solo il campo, dagli appunti posso dire che è un insieme tra cui gli elementi sono definite le operazioni di somma e prodotto con le seguenti proprietà: commutatività, associatività, esistenza dell'elemento neutro (sia per la somma che per il prodotto?) esistenza dell'elemento opposto. Non ci ha definito neanche l'anello...poi ha detto che ogni campo è un gruppo se togliamo lo zero...ma sinceramente non l'ho capito...
Dunque, un campo è una struttura algebrica definita da un insieme $C$ e da due operazioni binarie $+$ e $*$, e si denota come $(C,+,*)$, tale che $(C,+)$ è un gruppo abeliano e $(C,*)$ è un gruppo abeliano, è inoltre verificata la proprietà distributiva dell'operazione $*$ rispetto l'operazione $+$. Un gruppo abeliano $(G,+)$ è una struttura algebrica definita da un insieme $G$ e da un'operazione binaria $+$ che soddisfa le seguenti proprietà:
proprietà associativa: $(a+b)+c=a+(b+c) in G$, $AAa,b,c in G$
esistenza elemento neutro $e in G$: $a+e=e+a=a$, $AAa in G$
esistenza elemento opposto $-a in G$: $a+(-a)=(-a)+a=e$, $AAa in G$
proprietà commutativa: $a+b=b+a in G$, $AAa,b in G$
Per l'operazione binaria $*$ l'esistenza dell'elemento neutro si indica come $e in G$: $a*e=e*a=a$
e l'esistenza dell'opposto (che si chiama inverso) si indica come $a^-1 in G$: $a*a^-1=a^1*a=e$
Un anello è una struttura algebrica $(A,+,*)$ dove $(A,+)$ è un gruppo abeliano, mentre $(A,*)$ è un monoide; è inoltre verificata la proprietà distributiva dell'operazione $*$ rispetto l'operazione $+$.
Esempio di anello: $(ZZ,+,*)$ dove $+$ e $*$ sono le usuali operazioni di somma e prodotto.
Esempio di campo: $(QQ,+,*)$, $(RR,+,*)$, $(ZZ_3,+,*)$ dove $+$ e $*$ sono le usuali operazioni di somma e prodotto.
proprietà associativa: $(a+b)+c=a+(b+c) in G$, $AAa,b,c in G$
esistenza elemento neutro $e in G$: $a+e=e+a=a$, $AAa in G$
esistenza elemento opposto $-a in G$: $a+(-a)=(-a)+a=e$, $AAa in G$
proprietà commutativa: $a+b=b+a in G$, $AAa,b in G$
Per l'operazione binaria $*$ l'esistenza dell'elemento neutro si indica come $e in G$: $a*e=e*a=a$
e l'esistenza dell'opposto (che si chiama inverso) si indica come $a^-1 in G$: $a*a^-1=a^1*a=e$
Un anello è una struttura algebrica $(A,+,*)$ dove $(A,+)$ è un gruppo abeliano, mentre $(A,*)$ è un monoide; è inoltre verificata la proprietà distributiva dell'operazione $*$ rispetto l'operazione $+$.
Esempio di anello: $(ZZ,+,*)$ dove $+$ e $*$ sono le usuali operazioni di somma e prodotto.
Esempio di campo: $(QQ,+,*)$, $(RR,+,*)$, $(ZZ_3,+,*)$ dove $+$ e $*$ sono le usuali operazioni di somma e prodotto.
grazie per la pazienza 
"GundamRX91":
Dunque, un campo è una struttura algebrica definita da un insieme $C$ e da due operazioni binarie $+$ e $*$, e si denota come $(C,+,*)$, tale che $(C,+)$ è un gruppo abeliano e $(C,*)$ è un gruppo abeliano,
$(C\setminus {0},*)$ (dove $0$ è l'elemento neutro per l'operazione $+$) è un gruppo abeliano, no?
Scusa ma se togliamo l'elemento neutro dall'insieme credo che non sia un gruppo abeliano, ma a questo punto neppure un gruppo, credo....
"GundamRX91":
Scusate però sarebbe più corretto usare la notazione $(A,+,*)$ per indicare un anello/campo dove $+$ e $*$ sono due operazioni binarie.
Sicuramente
E ancora meglio sarebbe una notazione tipo $(A,\diamond,\circ)$, per rendere la cosa più generale e astratta
"GundamRX91":
Scusa ma se togliamo l'elemento neutro dall'insieme credo che non sia un gruppo abeliano, ma a questo punto neppure un gruppo, credo....
Mah, ora mi metti in crisi
Il punto è che in $(C,\cdot)$ l'elemento neutro per la somma (lo zero) non ha l'inverso (per il prodotto), quindi $(C,\cdot)$ non può essere un gruppo...
Ancora una cosa... un gruppo se non gode della proprietà commutativa è ancora un gruppo ma non è più abeliano?
Ora non mi vengono esempi di strutture in cui sia valida la proprietà associativa ma non la commutativa.
Ora non mi vengono esempi di strutture in cui sia valida la proprietà associativa ma non la commutativa.
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