Diagonalizzazione matrici
ciao a tutti!
Devo calcolare per quali valori di t la seguente matrice è diagonalizzabile:
$((1,1,1,1),(1,t,1,1),(-1,-1,-1,-1),(-1,-1,-1,-1))$
poichè tale matrice presenta vettori linearmente dipendenti posso ridurla per esempio a $((1,1),(1,t))$ prima di calcolare il determinante di A-$/lambda$I?
Se così fosse sbagliato come faccio a calcolare in modo veloce (senza fare mille calcoli) gli autovalori della matrice 4x4 sovrascritta?
Grazie a tutti!
Devo calcolare per quali valori di t la seguente matrice è diagonalizzabile:
$((1,1,1,1),(1,t,1,1),(-1,-1,-1,-1),(-1,-1,-1,-1))$
poichè tale matrice presenta vettori linearmente dipendenti posso ridurla per esempio a $((1,1),(1,t))$ prima di calcolare il determinante di A-$/lambda$I?
Se così fosse sbagliato come faccio a calcolare in modo veloce (senza fare mille calcoli) gli autovalori della matrice 4x4 sovrascritta?
Grazie a tutti!
Risposte
Forse senza fare mille calcoli l'ho risolto...
Calocolo A-$\lambda$I
$((1-\lambda,1,1,1),(1,t-\lambda,1,1),(-1,-1,-1-\lambda,-1),(-1,-1,-1,-1-\lambda))$
adesso con operazioni elementari sulle righe ottengo
$((-\lambda,1-t+\lambda,0,0),(0,1+t-\lambda,2+\lambda,0),(0,0,-\lambda,\lambda),(-1,-1,-1,-1-\lambda))$
quindi calcolando il determinante di tale matrice e ottengo
$\lambda$(1-$\lambda$)(2+$\lambda$)(1-t+$\lambda$)
pensiate sia giusto?
Calocolo A-$\lambda$I
$((1-\lambda,1,1,1),(1,t-\lambda,1,1),(-1,-1,-1-\lambda,-1),(-1,-1,-1,-1-\lambda))$
adesso con operazioni elementari sulle righe ottengo
$((-\lambda,1-t+\lambda,0,0),(0,1+t-\lambda,2+\lambda,0),(0,0,-\lambda,\lambda),(-1,-1,-1,-1-\lambda))$
quindi calcolando il determinante di tale matrice e ottengo
$\lambda$(1-$\lambda$)(2+$\lambda$)(1-t+$\lambda$)
pensiate sia giusto?
secondo me si. in pratica tu dici: trasformando una matrice mediante op. elementari otteniamo una matrice il cui determinante differisce dal det. della matrice originaria per il prodotto per uno scalare non nullo. Quindi quel polinomio che hai alla fine, se non è il polinomio caratteristico, differisce da questo per uno scalare e quindi ha le stesse radici, quindi le radici di quel polinomio sono gli autovalori che cerchiamo. ho capito bene?
si esatto!ma forse ho sbagliato i calcoli....
il determinante di A-$\lambda$I è $\lambda^2(\lambda^2+(3-t)\lambda+3-3t)$
Può essere giusto?
Può essere giusto?
il polinomio caratteristico di A è:
$P(\lambda)=lambda^4+lambda^3-t*lambda^3-t*lambda^2+lambda^2$;
$A-\lambdaI$ ridotta a forma triangolare è:
$((1, t-lambda, 1, 1),( 0, -1-lambda+t, -lambda, 0),(0, 0, lambda, -lambda),(0, 0, 0, lambda*(t*lambda-lambda^2-1-lambda+t)/(-1-lambda+t)))$
e il determinante di questa ultima matrice è:
$-lambda^4+(t-1)*lambda^3+(t-1)*lambda^2$
cioè $-P(\lambda)$.
Questi conti sono fatti con Maple. Magari ti possono servire. ciao!
(edit) Se hai problemi di conti, ti consiglierei di procurarti un software di calcolo simbolico: in mezz'ora impari tranquillamente ad usare le funzioni minime, giusto per fare calcoli, e puoi usarlo per controllare i tuoi esercizi. Io ho usato Maple ma ci sono anche software gratuiti, come Maxima; su questo forum è stato consigliato anche SAGE http://www.sagemath.org/ , che non conosco (però promette bene). ciao!
$P(\lambda)=lambda^4+lambda^3-t*lambda^3-t*lambda^2+lambda^2$;
$A-\lambdaI$ ridotta a forma triangolare è:
$((1, t-lambda, 1, 1),( 0, -1-lambda+t, -lambda, 0),(0, 0, lambda, -lambda),(0, 0, 0, lambda*(t*lambda-lambda^2-1-lambda+t)/(-1-lambda+t)))$
e il determinante di questa ultima matrice è:
$-lambda^4+(t-1)*lambda^3+(t-1)*lambda^2$
cioè $-P(\lambda)$.
Questi conti sono fatti con Maple. Magari ti possono servire. ciao!
(edit) Se hai problemi di conti, ti consiglierei di procurarti un software di calcolo simbolico: in mezz'ora impari tranquillamente ad usare le funzioni minime, giusto per fare calcoli, e puoi usarlo per controllare i tuoi esercizi. Io ho usato Maple ma ci sono anche software gratuiti, come Maxima; su questo forum è stato consigliato anche SAGE http://www.sagemath.org/ , che non conosco (però promette bene). ciao!
grazie mille del consiglio!e dell'aiuto
"Dani88":
ciao a tutti!
Devo calcolare per quali valori di t la seguente matrice è diagonalizzabile:
$((1,1,1,1),(1,t,1,1),(-1,-1,-1,-1),(-1,-1,-1,-1))$
Tanto per cominciare si osserva che ci sono 3 righe "parallele": la prima, la terza e la quarta.
Quindi c'è l'autovalore $\lambda = 0$ contato 2 volte.
Poi, guardando la traccia, si osserva che è uguale a $t-1$, quindi la somma
degli altri 2 autovalori deve essere tale che:
$\lambda_1 + \lambda_2 = t-1$
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