Di nuovo io... permutazioni.
Salve ragazzi sto bisticciando con questo esercizio, mi date una mano a capire quello che devo fare??
Si determini il sottogruppo $H$ di $(S_5,o)$ generato dalla permutazione $\sigma = (124)$. Si scriva la tavola di composizione di $H$ e si precisi l'inverso di ogni elemento di $H$.
Io per adesso ho fatto questo:
$\sigma = ((12345),(24315))$
Adesso devo calcolare il sottogruppo, ma non ho capito da dove devo partire.
Potreste aiutarmi?
.... hem scusate la pretesa... ma ho bisogno di un aiuto veloce
Si determini il sottogruppo $H$ di $(S_5,o)$ generato dalla permutazione $\sigma = (124)$. Si scriva la tavola di composizione di $H$ e si precisi l'inverso di ogni elemento di $H$.
Io per adesso ho fatto questo:
$\sigma = ((12345),(24315))$
Adesso devo calcolare il sottogruppo, ma non ho capito da dove devo partire.
Potreste aiutarmi?
.... hem scusate la pretesa... ma ho bisogno di un aiuto veloce
Risposte
Heilà 
Per intanto ti consiglio di dare un'occhiata a questo topic. A pagina 3 c'è un post in cui ho "spiegato" come funziona la faccenda.
Il punto è questo. Qual è l'ordine di quel ciclo in $S_5$? E' 3: sapresti dirmi il perchè?
Allora hai che [tex]\langle \sigma \rangle = \{id, \sigma, \sigma^2\}[/tex] perchè per definizione il sottogruppo ciclico generato da un elemento contiene tutte le potenze distinte di tale elemento.
Inoltre, [tex]\vert \langle \sigma \rangle \vert = 3[/tex]: ma esiste solo un gruppo di ordine 3, per cui hai che [tex]\langle \sigma \rangle \cong \mathbb{Z}_{3}[/tex]. E così hai anche la tavola di composizione.
Chiaro?
Per intanto ti consiglio di dare un'occhiata a questo topic. A pagina 3 c'è un post in cui ho "spiegato" come funziona la faccenda.
Il punto è questo. Qual è l'ordine di quel ciclo in $S_5$? E' 3: sapresti dirmi il perchè?
Allora hai che [tex]\langle \sigma \rangle = \{id, \sigma, \sigma^2\}[/tex] perchè per definizione il sottogruppo ciclico generato da un elemento contiene tutte le potenze distinte di tale elemento.
Inoltre, [tex]\vert \langle \sigma \rangle \vert = 3[/tex]: ma esiste solo un gruppo di ordine 3, per cui hai che [tex]\langle \sigma \rangle \cong \mathbb{Z}_{3}[/tex]. E così hai anche la tavola di composizione.
Chiaro?
"Paolo90":
Heilà
Per intanto ti consiglio di dare un'occhiata a questo topic. A pagina 3 c'è un post in cui ho "spiegato" come funziona la faccenda.
Il punto è questo. Qual è l'ordine di quel ciclo in $S_5$? E' 3: sapresti dirmi il perchè?
Allora hai che [tex]\langle \sigma \rangle = \{id, \sigma, \sigma^2\}[/tex] perchè per definizione il sottogruppo ciclico generato da un elemento contiene tutte le potenze distinte di tale elemento.
Inoltre, [tex]\vert \langle \sigma \rangle \vert = 3[/tex]: ma esiste solo un gruppo di ordine 3, per cui hai che [tex]\langle \sigma \rangle \cong \mathbb{Z}_{3}[/tex]. E così hai anche la tavola di composizione.
Chiaro?
Allora Paolo, non credo di aver capito benissimo.
Prima di tutto deduco che l'ordine è $3$ perchè $(124)^3$ $=id$
La frase in neretto non la capisco. Quindi mi rimane da scrivere la tavola di composizione... e l'inverso di ogni elemento. Il sottogruppo sarebbe [tex]\langle \sigma \rangle = \{id, \sigma, \sigma^2\}[/tex]? Cioè scrivo così e sta bene?
"Sandruz":
Allora Paolo, non credo di aver capito benissimo.
Prima di tutto deduco che l'ordine è $3$ perchè $(124)^3$ $=id$
Perfetto.
Il sottogruppo sarebbe [tex]\langle \sigma \rangle = \{id, \sigma, \sigma^2\}[/tex]? Cioè scrivo così e sta bene?
Sì, se proprio vuoi puoi calcolare $sigma^2$ e scriverlo come prodotto di cicli.
Quanto alla frase in neretto, facciamo così: scrivi la tabella di composizione, cioè fai una tabella 3x3 e scrivi il risultato di ogni composizione. Poi ne riparliamo.
La mia era solo un'osservazione che poteva aiutarti, ma non era fondamentale.
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