Determinazione delle classi di equivalenza
Buongiorno, non mi ricordo come si determinano le classi di equivalenza.
Considero il seguente esercizio:
Insieme dei numeri naturali senza lo zero $NN$, e pongo $xRy <=> x+p \in NN_p$, e voglio determinare le classi di equivalenza rispetto alla relazione $R$ in $NN$.
Per determinare le classi di equivalenze procedo in questo modo:
Passo 1: Fisso elemento $x$ in $NN$
Passo 2: Esplicito la classe di equivalenza di $x in NN$
$[x]_R=\{y \in NN \ : \ xRy\}$
$\qquad \ quad =\{y \in NN \ : \ x+y \in NN_p\}$
$\qquad \ quad =\{y \in NN \ : \ x+y=2h, h \in NN\}$
$\qquad \ quad =\{y \in NN \ : \ y=2h-x, h \in NN\}$
Passo 3: Scelta numerica $x=1,2$
Sia $x=1$ allora $[1]_R=\{y \in NN \ : \ y=2h-1, h \in NN\}$, poiché $y, h \in NN -> [1]_R={1,3,5,7,...}$
Sia $x=2$ allora $[2]_R=\{y \in NN \ : \ y=2h-2, h \in NN\}$, poiché $y, h \in NN -> [2]_R={2,4,6,8,...}$
Vi chiedo se il procedimento è corretto?
Considero il seguente esercizio:
Insieme dei numeri naturali senza lo zero $NN$, e pongo $xRy <=> x+p \in NN_p$, e voglio determinare le classi di equivalenza rispetto alla relazione $R$ in $NN$.
Per determinare le classi di equivalenze procedo in questo modo:
Passo 1: Fisso elemento $x$ in $NN$
Passo 2: Esplicito la classe di equivalenza di $x in NN$
$[x]_R=\{y \in NN \ : \ xRy\}$
$\qquad \ quad =\{y \in NN \ : \ x+y \in NN_p\}$
$\qquad \ quad =\{y \in NN \ : \ x+y=2h, h \in NN\}$
$\qquad \ quad =\{y \in NN \ : \ y=2h-x, h \in NN\}$
Passo 3: Scelta numerica $x=1,2$
Sia $x=1$ allora $[1]_R=\{y \in NN \ : \ y=2h-1, h \in NN\}$, poiché $y, h \in NN -> [1]_R={1,3,5,7,...}$
Sia $x=2$ allora $[2]_R=\{y \in NN \ : \ y=2h-2, h \in NN\}$, poiché $y, h \in NN -> [2]_R={2,4,6,8,...}$
Vi chiedo se il procedimento è corretto?
Risposte
Ma che cos'è \(\mathbb N_p\)? I numeri pari? Se sì, che orrenda notazione: i numeri pari si scrivono \(2\mathbb N\) (e i dispari \(2\mathbb N+1\)).
Venendo al problema, è ovvio che la somma di due numeri interi è pari se e solo se i numeri sono entrambi pari o entrambi dispari. Poi, di certo la "scelta numerica" non esaurisce tutti i numeri (ti pare che ci siano solo \(x=1\) e \(x=2\) da guardare?!).
Invece, una dimostrazione come si deve si fa per casi: vuoi mostrare che la classe di equivalenza di un qualsiasi numero pari è data da tutti gli altri numeri pari, e quella di un qualsiasi dispari da tutti gli altri dispari.
Sia allora \(t=2k\) un numero pari; se \(s\in R_t := \{x\in\mathbb N\mid xRt\}\) allora \(s+t=2r\) che implica \(s + 2k=2r\) che implica (solo perché sei sicuro che \(s,k,r\) sono positivi!) \(s = 2(k-r)\), cioè $s$ è pari.
Fai tu il caso in cui \(t=2k+1\) è dispari.
Invece, una dimostrazione come si deve si fa per casi: vuoi mostrare che la classe di equivalenza di un qualsiasi numero pari è data da tutti gli altri numeri pari, e quella di un qualsiasi dispari da tutti gli altri dispari.
Sia allora \(t=2k\) un numero pari; se \(s\in R_t := \{x\in\mathbb N\mid xRt\}\) allora \(s+t=2r\) che implica \(s + 2k=2r\) che implica (solo perché sei sicuro che \(s,k,r\) sono positivi!) \(s = 2(k-r)\), cioè $s$ è pari.
Fai tu il caso in cui \(t=2k+1\) è dispari.
Ciao megas_archon, grazie per avermi risposto.
Ti rispondo per ordine:
1) In merito alla notazione mi sono attenuto alle slide, e al libro del corso.
2) Mi chiaro quello che dici qui
3) Con $R_t$ vuoi indicare la classe di equivalenza di $s$
4) Il caso dispari
$s \in R_t -> s+t=2r ->^is+(2k+1)=2r ->^(ii) s=2r-(2k+1) ->^(iii)s=2(r-k)+1$
dove
i) Posizione
ii) Sommo ad ambo i membri la quantità $-(2k+1)$ (qui penso di aver sbagliato, sono un pò incriccato con l'algebra
)
ii) Associatività dell'addizione, e distributività del prodotto rispetto all'addizione.
Dalla forma di $s$ si ha che $s$ è dispari per via del fatto che è somma di un numero pari $2(r-k)$ con $1$.
Va bene ?
Ti rispondo per ordine:
1) In merito alla notazione mi sono attenuto alle slide, e al libro del corso.
2) Mi chiaro quello che dici qui
"megas_archon":
è ovvio che la somma di due numeri interi è pari se e solo se i numeri sono entrambi pari o entrambi dispari.
3) Con $R_t$ vuoi indicare la classe di equivalenza di $s$
"megas_archon":
Sia allora \( t=2k \) un numero pari; se \( s\in R_t := \{x\in\mathbb N\mid sRt\} \) allora \( s+t=2r \) che implica \( s + 2k=2r \) che implica (solo perché sei sicuro che \( s,k,r \) sono positivi!) \( s = 2(k-r) \), cioè $ s $ è pari.
.
4) Il caso dispari
$s \in R_t -> s+t=2r ->^is+(2k+1)=2r ->^(ii) s=2r-(2k+1) ->^(iii)s=2(r-k)+1$
dove
i) Posizione
ii) Sommo ad ambo i membri la quantità $-(2k+1)$ (qui penso di aver sbagliato, sono un pò incriccato con l'algebra
) ii) Associatività dell'addizione, e distributività del prodotto rispetto all'addizione.
Dalla forma di $s$ si ha che $s$ è dispari per via del fatto che è somma di un numero pari $2(r-k)$ con $1$.
Va bene ?
"compa90":
3) Con $R_t$ vuoi indicare la classe di equivalenza di $s$
E non quella di $t$, per esempio?
Giusto !!
La confusione nasce perché uso una notazione differente per le classi di equivalenze cioè questa $[2k]_R=\{y in NN\:\ y\ R\ 2k \}$, tuttavia, @megas_archon ha esplicitato cosa volesse intendere con $R_t$, mea culpa, forse l'unico errore di battitura è quella $s$ nella relazione $R$.
@ghira in merito ai commenti i)...,iv) sono corretti ?
La confusione nasce perché uso una notazione differente per le classi di equivalenze cioè questa $[2k]_R=\{y in NN\:\ y\ R\ 2k \}$, tuttavia, @megas_archon ha esplicitato cosa volesse intendere con $R_t$, mea culpa, forse l'unico errore di battitura è quella $s$ nella relazione $R$.
@ghira in merito ai commenti i)...,iv) sono corretti ?
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