Determinare un polinomio tale che...
Problema principale:
Dato un insieme di dati $(y_i,x_i)$ determinare il polinomio che renda minimo lo scarto quadratico, ovvero:
$S=(y_i-sum_(k=0)^n a_k*x_i^k)^2=$minimo
Le formule usuali portano alla determinazione degli $a_k$ una volta stabilito $n$ mediante matrici (molto grandi, leggasi $(n+1)^2$), ma tutto sommato semplici. Come posso, ricollegandomi ad un post precedente, determinare il minimo anche sul grado del polinomio? O anche, sono sicuro che con il crescere del polinomio lo scarto quadratico descresca, quindi più grande è $n$ meglio è??
Grazie a coloro che mi daranno una mano!
P.S. l'esercizio è solo per togliere un poca di ruggine alle mie conoscenze di analisi numerica.
Dato un insieme di dati $(y_i,x_i)$ determinare il polinomio che renda minimo lo scarto quadratico, ovvero:
$S=(y_i-sum_(k=0)^n a_k*x_i^k)^2=$minimo
Le formule usuali portano alla determinazione degli $a_k$ una volta stabilito $n$ mediante matrici (molto grandi, leggasi $(n+1)^2$), ma tutto sommato semplici. Come posso, ricollegandomi ad un post precedente, determinare il minimo anche sul grado del polinomio? O anche, sono sicuro che con il crescere del polinomio lo scarto quadratico descresca, quindi più grande è $n$ meglio è??
Grazie a coloro che mi daranno una mano!
P.S. l'esercizio è solo per togliere un poca di ruggine alle mie conoscenze di analisi numerica.
Risposte
"Lord K":
O anche, sono sicuro che con il crescere del polinomio lo scarto quadratico descresca, quindi più grande è $n$ meglio è??
Direi proprio di sì. Dopotutto, se prendi n=m, dove m è il numero di punti dati, puoi sempre costruire un polinomio che passa per tutti i punti, azzerando lo scarto.
Il problema è che calcolare gli $a_k$ per un n generico è piuttosto complesso e bisogna cercare di usare un polinomio semplice (leggi "di grado più piccolo possibile").
A questo punto mi viene una proposta: creare una funzione $F(n, s)$ che dipende direttamente dal grado scelto per il polinomio e dallo scarto minimo per tale grado (cioè aumentando uno dei due aumenta il valore della funzione) e cercare il minimo per la suddetta. Come possiamo definire una tale funzione in modo che ci dia indicazioni "utili" sulla scelta ideale di n?
Mi sto facendo troppi problemi?
Grazie per l'osservazione.
Sulla situazione al limite sono concorde con la tua visione, ma mi manca una dimostrazione della decrescenza dell'errore commesso... o meglio: supponiamo di avere $100.000$ coppie di dati del tipo $(y_i,x_i)$, come posso dire mediante una dimostrazione rigorosa che se scelgo $n, m in NN$ tali che $n>m$ allora:
$sum_(k=0)^100000(y_i- p(n,x_i))^2 < sum_(k=0)^100000(y_i- p(m,x_i))^2$ ???
Suppongo di non ricordare un teorema specifico per questi "resti" ma non so quale...
Sulla situazione al limite sono concorde con la tua visione, ma mi manca una dimostrazione della decrescenza dell'errore commesso... o meglio: supponiamo di avere $100.000$ coppie di dati del tipo $(y_i,x_i)$, come posso dire mediante una dimostrazione rigorosa che se scelgo $n, m in NN$ tali che $n>m$ allora:
$sum_(k=0)^100000(y_i- p(n,x_i))^2 < sum_(k=0)^100000(y_i- p(m,x_i))^2$ ???
Suppongo di non ricordare un teorema specifico per questi "resti" ma non so quale...
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