Determinare sottogruppi
Salve, è da un pò che cerco di capire come risolvere questi esercizi ma non ci riesco, piu che altro faccio confusione quando il gruppo è denotato additivamente o con la moltiplicazione. Ad esempio in questo esercizio:
E` assegnato il gruppo ciclico (Z12, +).
(a) Determinare l’insieme H dei sottogruppi di (Z12,+)
(b) tracciare il diagramma di Hasse del reticolo H ordinato per inclusione
(c) determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi di H
(d) stabilire se H `e distributivo (e) stabilire se H `e di Boole.
Ecco io comincerei col dire che l'ordine di z12 è 12 perchè formato da 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
ora devo cercare i generatori di Z12 che saranno divisori di 12 quindi 1,2,3,4,6,12
provo con 2: 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 cioè 0 non può essere perchè non coincide con l'ordine che è 12
provo con 3: 3 - 6 - 9 - 12 cioè 0 quindi non può essere
provo con 4: 4 - 6 - 12 cioè 0 quindi non può essere
provo con 6: 6 - 0
provo con 12: 0
insomma com'è possibile??
poi per determinare i sottogruppi come si procede?? ho una confusione incredibile in mente...
poi un altro esercizio in (Z*10,*)
l'ordine è 9 perchè gli elementi di Z10 sono 1,2,3,4,5,6,7,8,9
per trovare il generatore ho dei problemi perchè se provo con 2, i numeri si ripetono non arrivo mai all'elemento neutro che mi permette di fermarmi....come si potrebbe fare?
E` assegnato il gruppo ciclico (Z12, +).
(a) Determinare l’insieme H dei sottogruppi di (Z12,+)
(b) tracciare il diagramma di Hasse del reticolo H ordinato per inclusione
(c) determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi di H
(d) stabilire se H `e distributivo (e) stabilire se H `e di Boole.
Ecco io comincerei col dire che l'ordine di z12 è 12 perchè formato da 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
ora devo cercare i generatori di Z12 che saranno divisori di 12 quindi 1,2,3,4,6,12
provo con 2: 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 cioè 0 non può essere perchè non coincide con l'ordine che è 12
provo con 3: 3 - 6 - 9 - 12 cioè 0 quindi non può essere
provo con 4: 4 - 6 - 12 cioè 0 quindi non può essere
provo con 6: 6 - 0
provo con 12: 0
insomma com'è possibile??
poi per determinare i sottogruppi come si procede?? ho una confusione incredibile in mente...
poi un altro esercizio in (Z*10,*)
l'ordine è 9 perchè gli elementi di Z10 sono 1,2,3,4,5,6,7,8,9
per trovare il generatore ho dei problemi perchè se provo con 2, i numeri si ripetono non arrivo mai all'elemento neutro che mi permette di fermarmi....come si potrebbe fare?
Risposte
nessuno riesci a spiegarmi come fare? sia in caso di gruppi addittivi che in caso di gruppi moltiplicativi?
Hai molta confusione in testa. Consideriamo \(\displaystyle \mathbf{Z}_{12} \). Il sottogruppo generato da \(\displaystyle 2 \) ha ordine \(\displaystyle 12/2 = 6 \) infatti contiene gli elementi \(\displaystyle\{ 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\} \).
In \(\displaystyle \mathbf{Z}^{*}_{10} \) ci sono \(\displaystyle \phi(10) = 4\) elementi, cioè \(\displaystyle\{ 1,\ 3,\ 7,\ 9\} \). Il tutto viene poi gestito moltiplicativamente.
In \(\displaystyle \mathbf{Z}^{*}_{10} \) ci sono \(\displaystyle \phi(10) = 4\) elementi, cioè \(\displaystyle\{ 1,\ 3,\ 7,\ 9\} \). Il tutto viene poi gestito moltiplicativamente.
"vict85":
Hai molta confusione in testa. Consideriamo \(\displaystyle \mathbf{Z}_{12} \). Il sottogruppo generato da \(\displaystyle 2 \) ha ordine \(\displaystyle 12/2 = 6 \) infatti contiene gli elementi \(\displaystyle\{ 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\} \).
In \(\displaystyle \mathbf{Z}^{*}_{10} \) ci sono \(\displaystyle \phi(10) = 4\) elementi, cioè \(\displaystyle\{ 1,\ 3,\ 7,\ 9\} \). Il tutto viene poi gestito moltiplicativamente.
non capisco perchè in alcuni gruppi ad esempio quello preso in esame \(\displaystyle \mathbf{Z}_{12} \) l'ordine è 12 perchè appunto formato da elementi che vanno da 0 a 11, invece l'ordine di \(\displaystyle \mathbf{Z}^{*}_{10} \) non è 9 cioè formato da elementi da 1 a 9, come mai? mi sfugge qualcosa? e come si fa dopo aver determinato l'ordine a determinare gli elementi di quel gruppo?? ho notato che questa difficoltà sorge quando si tratta di gruppi moltiplicativi...
non capisco neanche come realizzare questo punto: (b) tracciare il diagramma di Hasse del reticolo H ordinato per inclusione
Perché non esiste nessun \(x\) tale che \( 2x \cong 1 \pmod{10} \).
"vict85":
Perché non esiste nessun \(x\) tale che \( 2x \cong 1 \pmod{10} \).
quindi per sapere gli elementi del gruppo come dovrei fare? questo vale solo per i gruppi moltiplicativi? come si svolge questo punto: tracciare il diagramma di Hasse del reticolo H ordinato per inclusione
Il tuo problema è che ragioni ancora troppo in termini numerici. Il diagramma di Hasse è semplicemente il reticolo dei sottogruppi, quindi devi determinare i sottogruppi.
Il gruppo degli elementi invertibili di un anello (con gruppo moltiplicativo si intende un qualsiasi gruppo scritto in notazione moltiplicativa!) è definito come l'insieme degli elementi di un anello che possiedono un inverso moltiplicativo. In \(\mathbb{Z}\) è l'insieme \(\{-1,\ 1\}\), in (\mathbb{C}\) è l'insieme dei complessi diversi da 0. Nell'insieme delle funzioni reali a valori reali con moltiplicazione e somma puntuale, è l'insieme delle funzioni che non si annullano mai. Nel caso degli anelli da te considerati sono gli elementi che possiedono un inverso e cioè che non dividono lo 0.
Il gruppo degli elementi invertibili di un anello (con gruppo moltiplicativo si intende un qualsiasi gruppo scritto in notazione moltiplicativa!) è definito come l'insieme degli elementi di un anello che possiedono un inverso moltiplicativo. In \(\mathbb{Z}\) è l'insieme \(\{-1,\ 1\}\), in (\mathbb{C}\) è l'insieme dei complessi diversi da 0. Nell'insieme delle funzioni reali a valori reali con moltiplicazione e somma puntuale, è l'insieme delle funzioni che non si annullano mai. Nel caso degli anelli da te considerati sono gli elementi che possiedono un inverso e cioè che non dividono lo 0.
"vict85":
Il tuo problema è che ragioni ancora troppo in termini numerici. Il diagramma di Hasse è semplicemente il reticolo dei sottogruppi, quindi devi determinare i sottogruppi.
Il gruppo degli elementi invertibili di un anello (con gruppo moltiplicativo si intende un qualsiasi gruppo scritto in notazione moltiplicativa!) è definito come l'insieme degli elementi di un anello che possiedono un inverso moltiplicativo. In \(\mathbb{Z}\) è l'insieme \(\{-1,\ 1\}\), in \(\mathbb{C}\) è l'insieme dei complessi diversi da 0. Nell'insieme delle funzioni reali a valori reali con moltiplicazione e somma puntuale, è l'insieme delle funzioni che non si annullano mai. Nel caso degli anelli da te considerati sono gli elementi che possiedono un inverso e cioè che non dividono lo 0.
ho capito quindi dovrei considerare gli elementi che hanno inverso, quelli che mi danno come risultato l'elemento neutro dovrei scartarli? ti chiedo scusa se ho difficoltà nel capire l'argomento. Potresti spiegarmi passo passo il procedimento da fare per individuare gli elementi del gruppo ad esempio di (Z10*, *) e di conseguenza anche l'ordine.
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