Determinare se un gruppo è abeliano

[adima1]

Ciao, ho un problema ad interpretare il testo di questo esercizio preparatorio:
Si consideri l'insieme $A={(a,b) | a, b in ZZ }$ dotato delle seguenti operazioni:
\( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) \)
$ (a, b) xx (c, d) = (ac - bd, ad + bc) $

Dimostrare che $(A, +)$ è abelliano.

Il concetto di abeliano mi è chiaro, non riesco a capire se per il gruppo (A, +) devo analizzare solo la prima operazione? E come faccio a dimostrarne la associatività?

Grazie ragazzi, forse è l'ora ma sto esaurendo!

[aleio11]

Il gruppo che l'esercizio ti chiede di analizzare è quello strutturato con la somma (+).
L'associatività la hai perchè la hai sui ciascuno dei 2 elementi della coppia (Z è associativo con la somma).
La commutatività allo stesso modo. Se vuoi una verifica diretta:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+(a,b)

e la seconda uguaglianza deriva dal fatto che in Z due elementi commutano rispetto alla somma.

[adima1]

Quindi se avessi dovuto dimostrare se $(Z, xx)$ è abelliano dovrei: prendere la seconda operazione, siccome $(ac - bd, ad + bc)$ contiene l'operazione $-$ che non è associativa e quindi il gruppo non è abeliano.

[gundamrx91-votailprof]

Attenzione: un gruppo abeliano $(G,+)$, o commutativo , è una struttura algebrica definita da un insieme di supporto e un operazione binaria tale che $AAx,y in G$ si ha $x+y=y+x in G$.

Posto che $x$ sia la coppia ordinata $(a,b)$ e $y$ sia la coppia ordinata $(c,d)$ e l'operazione binaria $+$ definita come $(a+c,b+d)$, la proprietà commutativa sarà quindi..... prosegui tu