Determinare polinomio
qualcuno sa darmi una traccia per poter risolvere questo esercizio perchè non so minimamente da dove prenderlo:
determinare un polinomio p di grado 3 tale che
$p(n)=\sum_{j=1}^n j^2$ per $1<=n<=4$
così provo a risolverlo
grazie mille
determinare un polinomio p di grado 3 tale che
$p(n)=\sum_{j=1}^n j^2$ per $1<=n<=4$
così provo a risolverlo
grazie mille
Risposte
Prendi il polinomio generico di grado 3 e imponi le condizioni:
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Deve valere:
1) $p(1)=1 => a+b+c+d=1$
2) $p(2)=5 => 8a+4b+2c+d=5$
3) $p(3)=14 => 27a+9b+3c+d=14$
4) $p(4)=30 => 64a+16b+4c+d=30$
fai i calcoli e ti viene fuori il risultato
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Deve valere:
1) $p(1)=1 => a+b+c+d=1$
2) $p(2)=5 => 8a+4b+2c+d=5$
3) $p(3)=14 => 27a+9b+3c+d=14$
4) $p(4)=30 => 64a+16b+4c+d=30$
fai i calcoli e ti viene fuori il risultato
grazie mille
adesso devo provare per induzione che:
$p(n)=sum_{j=1}^n j^2$ $AAn$
io ho dimostrato che l'uguaglianza vale per $1$
suppongo che vale per $n-1$
adesso devo provare che vale per $n$
ma come faccio??
$p(n)=sum_{j=1}^n j^2$ $AAn$
io ho dimostrato che l'uguaglianza vale per $1$
suppongo che vale per $n-1$
adesso devo provare che vale per $n$
ma come faccio??
Prima di tutto, quanto ti è venuto il polinomio $p$?
Per il passo induttivo, basta che dimostri che $p(n)-p(n-1)= n^2$
Dopo che hai fatto questo hai finito.
Infatti hai $p(n)=p(n)-p(n-1)+p(n-1)= n^2 +sum_(j=0)^(n-1) j^2= sum_(j=0)^(n) j^2$
Per il passo induttivo, basta che dimostri che $p(n)-p(n-1)= n^2$
Dopo che hai fatto questo hai finito.
Infatti hai $p(n)=p(n)-p(n-1)+p(n-1)= n^2 +sum_(j=0)^(n-1) j^2= sum_(j=0)^(n) j^2$
il polinomio mi è venuto
$p(x)=1/3*x^3+5/2*x^2-35/6*x+4$
spero di non aver sbagliato qualche calcolo visto che mi capita spesso
cmq sinceramente non ho capito l'ultimo passaggio
$p(x)=1/3*x^3+5/2*x^2-35/6*x+4$
spero di non aver sbagliato qualche calcolo visto che mi capita spesso
cmq sinceramente non ho capito l'ultimo passaggio
Il polinomio non è quello:
se fai ad esempio $p(3)$ ottieni $27/3+45/2 -35/2 +4$, cioè $9+5+4=18$, mentre deve venire $14$
Il polinomio corretto è $1/3 n^3 +1/2 n^2 +1/6n$
Qual è il passaggio che non hai capito?
PS: dimostra intanto che, col mio polinomio, si ha $p(n)-p(n-1)=n^2$.
Suggerimento: puoi vedere $p(n)$ scritto anche così: $p(n)=1/6*(n)(n+1)(2n+1)$
Quindi $p(n-1)=1/6*(n-1)*n*(2n-1)$
Dunque $p(n)-p(n-1)=...$
se fai ad esempio $p(3)$ ottieni $27/3+45/2 -35/2 +4$, cioè $9+5+4=18$, mentre deve venire $14$
Il polinomio corretto è $1/3 n^3 +1/2 n^2 +1/6n$
Qual è il passaggio che non hai capito?
PS: dimostra intanto che, col mio polinomio, si ha $p(n)-p(n-1)=n^2$.
Suggerimento: puoi vedere $p(n)$ scritto anche così: $p(n)=1/6*(n)(n+1)(2n+1)$
Quindi $p(n-1)=1/6*(n-1)*n*(2n-1)$
Dunque $p(n)-p(n-1)=...$
ora allora provo a rifare i calcoli
cmq penso che con il tuo polinomio riesco a risolverlo
poi ti posto il risultato
cmq penso che con il tuo polinomio riesco a risolverlo
poi ti posto il risultato
rifatti i calcoli il polinomio mi è uscito come quello che mi hai postato!
poi per quanto riguarda la parte sull'induzione
ho dimostrato l'uguaglianza per $p(1)$
suppongo che vale per $n$
e ho dimostrato che vale per $n+1$
grazie mille per tutto
poi per quanto riguarda la parte sull'induzione
ho dimostrato l'uguaglianza per $p(1)$
suppongo che vale per $n$
e ho dimostrato che vale per $n+1$
grazie mille per tutto
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