Determinare periodi di tutti gli elementi di due strutture
Salve a tutti, ho questo esercizio, vorrei un aiuto sul punto (e).
Non riesco a capire come si faccia a determinare i periodi di tutti gli elementi, quando abbiamo leggi di composizione interne che non siano le solite (più) o (per)... perchè li bastava calcolarsi i sottogruppi ciclici...ma qui?
Non riesco a capire come si faccia a determinare i periodi di tutti gli elementi, quando abbiamo leggi di composizione interne che non siano le solite (più) o (per)... perchè li bastava calcolarsi i sottogruppi ciclici...ma qui?
Risposte
Anche qui devi trovarti i sottogruppi ciclici.
Immagino tu abbia già notato che \(a\) è l'elemento neutro del primo. Tra l'altro c'é un errore nella tabella in quanto, affinché il primo sia un gruppo, si deve avere \(c\ast a = c\). Quello che devi fare è trovare quanti \(b\) servono affinché \(b\ast b \ast \dotsb \ast b \ast b\) sia uguale ad \(a\). Fare poi la stessa cosa per gli altri elementi.
La risposta nel primo è tra l'altro banale:
Bisogna comunque dire che se \(b\ast b\ast \dotsb\ast b = x\neq a \) allora tu puoi calcolare l'ordine di \(x\) dal gruppo ciclico generato da \(b\).
C'é un altro errore comunque quando dice che \(G' = \{a,b,c,d\} \) dato che la tabella è stata fatta per \(\{1,2,3,4\} \). Il secondo lo lascio a te. È comunque evidente che in questo caso ogni elemento ha ordine diverso rispetto a quello del primo gruppo, riesci a motivarlo dalla tabella? Inoltre questo aspetto fornisce automaticamente l'ordine di ogni elemento, come mai? Ovviamente questo nel caso in cui quella tabella sia effettivamente di un gruppo, cosa che non ho controllato.
Immagino tu abbia già notato che \(a\) è l'elemento neutro del primo. Tra l'altro c'é un errore nella tabella in quanto, affinché il primo sia un gruppo, si deve avere \(c\ast a = c\). Quello che devi fare è trovare quanti \(b\) servono affinché \(b\ast b \ast \dotsb \ast b \ast b\) sia uguale ad \(a\). Fare poi la stessa cosa per gli altri elementi.
La risposta nel primo è tra l'altro banale:
Bisogna comunque dire che se \(b\ast b\ast \dotsb\ast b = x\neq a \) allora tu puoi calcolare l'ordine di \(x\) dal gruppo ciclico generato da \(b\).
C'é un altro errore comunque quando dice che \(G' = \{a,b,c,d\} \) dato che la tabella è stata fatta per \(\{1,2,3,4\} \). Il secondo lo lascio a te. È comunque evidente che in questo caso ogni elemento ha ordine diverso rispetto a quello del primo gruppo, riesci a motivarlo dalla tabella? Inoltre questo aspetto fornisce automaticamente l'ordine di ogni elemento, come mai? Ovviamente questo nel caso in cui quella tabella sia effettivamente di un gruppo, cosa che non ho controllato.
Ciao, grazie mille per la risposta e scusa se rispondo in ritardo.
Comunque riscontro ancora difficoltà. Quelle due tabelle sono strutture, non necessariamente gruppi..ecco perchè, se la prima tabella non è sbagliata, semplicemente non ha elemento neutro e quindi non è un gruppo. Infatti, al primo quesito ho risposto che non c'è l'elemento neutro nella prima tabella, invece per la seconda è 1.
Di conseguenza (quesito (b) ), la prima tabella non ha inversi. Per la seconda li ho trovati individuando all'interno della tabella l'1.
(c) ho calcolato che solo G' è un gruppo ed è anche abeliano (risposta alla (d) ).. ma comunque ho ancora difficoltà nel calcolare la cardinalità.. non ho ben capito cosa intendi quando dici queste due cose (ti riporto le tue citazioni) :
"Quello che devi fare è trovare quanti b servono affinché b∗b∗⋯∗b∗b sia uguale ad a. Fare poi la stessa cosa per gli altri elementi."
"Bisogna comunque dire che se b∗b∗⋯∗b=x≠a allora tu puoi calcolare l'ordine di x dal gruppo ciclico generato da b."
grazie ancora, buona giornata
Comunque riscontro ancora difficoltà. Quelle due tabelle sono strutture, non necessariamente gruppi..ecco perchè, se la prima tabella non è sbagliata, semplicemente non ha elemento neutro e quindi non è un gruppo. Infatti, al primo quesito ho risposto che non c'è l'elemento neutro nella prima tabella, invece per la seconda è 1.
Di conseguenza (quesito (b) ), la prima tabella non ha inversi. Per la seconda li ho trovati individuando all'interno della tabella l'1.
(c) ho calcolato che solo G' è un gruppo ed è anche abeliano (risposta alla (d) ).. ma comunque ho ancora difficoltà nel calcolare la cardinalità.. non ho ben capito cosa intendi quando dici queste due cose (ti riporto le tue citazioni) :
"Quello che devi fare è trovare quanti b servono affinché b∗b∗⋯∗b∗b sia uguale ad a. Fare poi la stessa cosa per gli altri elementi."
"Bisogna comunque dire che se b∗b∗⋯∗b=x≠a allora tu puoi calcolare l'ordine di x dal gruppo ciclico generato da b."
grazie ancora, buona giornata
Ok, ci ho ragionato un po' su e credo di aver compreso. Dimmi se sbaglio.
Praticamente, per trovare la cardinalità di un gruppo (ciclico o meno), (supponiamo di voler trovare il numero di elementi del sottogruppo ciclico <2> - parlo della seconda tabella) basta ''combinare'' 2 con gli altri elementi e fermarci quando troviamo 1. Quindi io ho fatto: <2> = {1o2, 2o2, 3o2, 4o2} (p.s. scusa, non sapevo come fare il pallino della legge di composizione).
= {2,4,1,3}, quindi siccome 3o2 per la tabella fa 1, ho considerato come cardinalità di 2, proprio 3.
Così facendo ho ricavato che la cardinalità di 1 è 1, di 2 è 3, di 3 è 2 e di 4 è 4 (quindi 4 è generatore).
E' giusto il mio ragionamento? Spero di essermi spiegata..>.<
Praticamente, per trovare la cardinalità di un gruppo (ciclico o meno), (supponiamo di voler trovare il numero di elementi del sottogruppo ciclico <2> - parlo della seconda tabella) basta ''combinare'' 2 con gli altri elementi e fermarci quando troviamo 1. Quindi io ho fatto: <2> = {1o2, 2o2, 3o2, 4o2} (p.s. scusa, non sapevo come fare il pallino della legge di composizione).
= {2,4,1,3}, quindi siccome 3o2 per la tabella fa 1, ho considerato come cardinalità di 2, proprio 3.
Così facendo ho ricavato che la cardinalità di 1 è 1, di 2 è 3, di 3 è 2 e di 4 è 4 (quindi 4 è generatore).
E' giusto il mio ragionamento? Spero di essermi spiegata..>.<
No, mi sembra di no.
Per il primo tra l'altro non è neanche associativo allora: \(c\ast (c\ast c) = c\ast a = d \neq c = a\ast c = (c\ast c)\ast c\). Non ha quindi molto senso parlare di ordine perché dipende da come metti le parentesi.
Per il secondo:
\(1\) è l'elemento neutro e quindi l'ordine è \(1\).
\(2^2 = 2\bullet 2 = 4\), \(2^3 = 2\bullet 2\bullet 2 = 4\bullet 2 = 3\), \(2^4 = 2^3\bullet 2 = 3\bullet 2 = 1\). Pertanto \(2 \) ha ordine \(4 \).
Siccome \(2\) ha ordine \(4\) e \(\lvert G'\rvert\) ha cardinalità \(4\) allora \(G'\) è un gruppo ciclico generato da \(2\).
Siccome \(4 = 2^2\) allora \(4^2 = (2^2)^2 = 2^4 = 1\), perciò \(4\) ha ordine \(2\). \(3 \) è l'inverso di \(2 \) e quindi ha il suo stesso ordine: \(4\).
Per le formule vai qui.
Per il primo tra l'altro non è neanche associativo allora: \(c\ast (c\ast c) = c\ast a = d \neq c = a\ast c = (c\ast c)\ast c\). Non ha quindi molto senso parlare di ordine perché dipende da come metti le parentesi.
Per il secondo:
\(1\) è l'elemento neutro e quindi l'ordine è \(1\).
\(2^2 = 2\bullet 2 = 4\), \(2^3 = 2\bullet 2\bullet 2 = 4\bullet 2 = 3\), \(2^4 = 2^3\bullet 2 = 3\bullet 2 = 1\). Pertanto \(2 \) ha ordine \(4 \).
Siccome \(2\) ha ordine \(4\) e \(\lvert G'\rvert\) ha cardinalità \(4\) allora \(G'\) è un gruppo ciclico generato da \(2\).
Siccome \(4 = 2^2\) allora \(4^2 = (2^2)^2 = 2^4 = 1\), perciò \(4\) ha ordine \(2\). \(3 \) è l'inverso di \(2 \) e quindi ha il suo stesso ordine: \(4\).
Per le formule vai qui.
Come mai fai le potenze? Io so che il sottogruppo ciclico è generato dalle potenze quando abbiamo un gruppo di tipo (G,*), dove con * indico la moltiplicazione. Invece nel caso di (G,+) il sottogruppo ciclico è generato facendo moltiplicazioni del tipo ah, al variare di h. E quindi ecco perchè ho pensato che siccome qui non si parla ne' di moltiplicazione, nè di addizione, ma di una legge di composizione generica, fosse opportuno per comporre a con un h, al variare di quest'utlimo..dove quel "comporre" non è ne' una potenza, ne' una moltiplicazione, ma un altro tipo di composizione dettata dalla tabella..
Ok, ho riflettuto..spero di essere arrivata alla giusta conclusione adesso. Ho provato come dici tu e il discorso mi fila, anche perchè mi sono ricordata anche che il numero di elementi di un sottogruppo deve dividere il numero di elementi del gruppo. Siccome il gruppo ha 4 elementi, la cardinalità dei sottogruppi ciclici può essere o 1 o 2 o 4.. e non anche 3 come risultava dal mio procedimento. Ora quello che mi chiedo è..quando un gruppo non è ciclico e quindi non si ha la possibilità di trovare un elemento che generi tutti gli altri elementi, come si fanno a trovare tutti i sottogruppi ciclici?
E poi: quindi si usano sempre le potenze? Perchè, come detto sopra, io pensavo si utilizzassero solo per la moltiplicazione..
grazie mille per la pazienza comunque
E poi: quindi si usano sempre le potenze? Perchè, come detto sopra, io pensavo si utilizzassero solo per la moltiplicazione..
grazie mille per la pazienza comunque
Dovresti cercare di non confondere le potenze di un elemento di un gruppo con le potenze moltiplicative. L'uso della notazione moltiplicativa in un gruppo è solo notazione, nulla di più.
Se preferisci avrei potuto usare la seguente notazione:
\(p\colon G' \times \mathbb{Z} \to G' \) definita da \(p(g,n) = p(g,n-1)\bullet g \) e \(p(g,1) = g \) per ogni \(g\in G' \).
E quindi scrivere:
\(p(2,2) = p(2,1)\bullet 2 = 2\bullet 2 = 4\) e così via.
In pratica la scrittura \(g^n \) è solo una scrittura rapida per \(g\bullet g \bullet \dotsb \bullet g \), con \(\displaystyle g \) ripetuto \(n \) volte. L'uso della notazione moltiplicativa è comoda perché non necessita la ripetizione dell'operatore.
Se preferisci avrei potuto usare la seguente notazione:
\(p\colon G' \times \mathbb{Z} \to G' \) definita da \(p(g,n) = p(g,n-1)\bullet g \) e \(p(g,1) = g \) per ogni \(g\in G' \).
E quindi scrivere:
\(p(2,2) = p(2,1)\bullet 2 = 2\bullet 2 = 4\) e così via.
In pratica la scrittura \(g^n \) è solo una scrittura rapida per \(g\bullet g \bullet \dotsb \bullet g \), con \(\displaystyle g \) ripetuto \(n \) volte. L'uso della notazione moltiplicativa è comoda perché non necessita la ripetizione dell'operatore.
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