Determinare omomorfismi tra due gruppi fissati
Buongiorno a tutti
Risolvendo degli esercizi sulle azioni di un gruppo su un insieme, mi sono ritrovato a dover trovare tutti gli omomorfismi tra due gruppi fissati. La domanda è quindi:
quali tecniche si utilizzano per determinare tutti gli omomorfismi tra due gruppi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) fissati?
Fino ad ora ho usato la seguente tecnica: trovo tutti i sottogruppi normali \(\displaystyle H \) del gruppo \(\displaystyle A \), calcolo il gruppo quoziente \(\displaystyle A/H \) e cerco tutti i sottogruppi di \(\displaystyle B \) che sono isomorfi ad \(\displaystyle A/H \). Usando il primo teorema di isomorfismo, pongo che questi sottogruppi siano le immagini di \(\displaystyle A \) mediante qualche omomorfismo (rispettando la condizione che gli elementi di \(\displaystyle H \) devono essere portati nell'identità) e verifico gli assiomi di omomorfismo.
Questo metodo funziona abbastanza bene quando i gruppi sono piccoli e hanno pochi sottogruppi, ed il gruppo quoziente è facile da calcolare. Altri metodi furbi?
Grazie a tutti
Risolvendo degli esercizi sulle azioni di un gruppo su un insieme, mi sono ritrovato a dover trovare tutti gli omomorfismi tra due gruppi fissati. La domanda è quindi:
quali tecniche si utilizzano per determinare tutti gli omomorfismi tra due gruppi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) fissati?
Fino ad ora ho usato la seguente tecnica: trovo tutti i sottogruppi normali \(\displaystyle H \) del gruppo \(\displaystyle A \), calcolo il gruppo quoziente \(\displaystyle A/H \) e cerco tutti i sottogruppi di \(\displaystyle B \) che sono isomorfi ad \(\displaystyle A/H \). Usando il primo teorema di isomorfismo, pongo che questi sottogruppi siano le immagini di \(\displaystyle A \) mediante qualche omomorfismo (rispettando la condizione che gli elementi di \(\displaystyle H \) devono essere portati nell'identità) e verifico gli assiomi di omomorfismo.
Questo metodo funziona abbastanza bene quando i gruppi sono piccoli e hanno pochi sottogruppi, ed il gruppo quoziente è facile da calcolare. Altri metodi furbi?
Grazie a tutti
Risposte
Credo sia l'unico metodo applicabile "in generale". Confronta anche con questo, sotto la voce "Contare gli omomorfismi tra gruppi".
Naturalmente ci sono casi particolari in cui si possono fare considerazioni basate sulla struttura dei gruppi dati, per esempio per contare gli omomorfismi [tex]S \to S[/tex] dove [tex]S[/tex] è un dato gruppo semplice ci si serve della particolare struttura di [tex]S[/tex], degli insiemi più o meno geometrici su cui agisce (per esempio il gruppo alterno di grado [tex]n[/tex] ha un'azione naturale su [tex]\{1,\ldots,n\}[/tex], il gruppo proiettivo speciale lineare [tex]PSL(V)[/tex] è un quoziente di [tex]SL(V)[/tex], che ha un'azione naturale sullo spazio vettoriale [tex]V[/tex] dato dalla moltiplicazione matrice per vettore). Nel caso del gruppo alterno di grado [tex]n[/tex], per esempio, si vede che il problema di determinare gli omomorfismi [tex]A_n \to A_n[/tex] si riduce essenzialmente al problema di determinare i sottogruppi di [tex]A_n[/tex] di indice [tex]n[/tex] (cf. qui). Per quanto riguarda i gruppi cosiddetti "classici" (gruppi di matrici e loro quozienti), ti cito quello che dice John Wilson in proposito nel libro "Algebraic Groups", quando tratta degli automorfismi "esterni" (outer), cioè non interni (un automorfismo interno è un automorfismo dato dal coniugio con un elemento del gruppo):
Naturalmente ci sono casi particolari in cui si possono fare considerazioni basate sulla struttura dei gruppi dati, per esempio per contare gli omomorfismi [tex]S \to S[/tex] dove [tex]S[/tex] è un dato gruppo semplice ci si serve della particolare struttura di [tex]S[/tex], degli insiemi più o meno geometrici su cui agisce (per esempio il gruppo alterno di grado [tex]n[/tex] ha un'azione naturale su [tex]\{1,\ldots,n\}[/tex], il gruppo proiettivo speciale lineare [tex]PSL(V)[/tex] è un quoziente di [tex]SL(V)[/tex], che ha un'azione naturale sullo spazio vettoriale [tex]V[/tex] dato dalla moltiplicazione matrice per vettore). Nel caso del gruppo alterno di grado [tex]n[/tex], per esempio, si vede che il problema di determinare gli omomorfismi [tex]A_n \to A_n[/tex] si riduce essenzialmente al problema di determinare i sottogruppi di [tex]A_n[/tex] di indice [tex]n[/tex] (cf. qui). Per quanto riguarda i gruppi cosiddetti "classici" (gruppi di matrici e loro quozienti), ti cito quello che dice John Wilson in proposito nel libro "Algebraic Groups", quando tratta degli automorfismi "esterni" (outer), cioè non interni (un automorfismo interno è un automorfismo dato dal coniugio con un elemento del gruppo):
"John Wilson":In particolare si capisce che per conoscere gli automorfismi di un gruppo bisogna prima conoscere bene i suoi sottogruppi.
To prove that the outer automorphism group of PSLn(q) is no bigger than this, we have to reconstruct the geometry from the abstract structure of the group (i.e. from its subgroups), and reconstruct the field from the abstract structure of the geometry (i.e. from its subspaces).
Grazie mille, risposta completissima
l'esercizio iniziale da cui sono partito è proprio sulle azioni di gruppo:
"Descrivere tutti i modi possibili su cui il gruppo simmetrico \(\displaystyle S_3 \) può agire su un insieme di 4 elementi"
Per risolvere questo esercizio, ho mostrato che, detto \(\displaystyle A \) un insieme di \(\displaystyle 4 \) elementi, un'azione di \(\displaystyle S_3 \) determina un sottogruppo del gruppo delle permutazioni di \(\displaystyle A \) (che è \(\displaystyle S_4 \) ) mediante l'omomorfismo \(\displaystyle \phi:S_3 \rightarrow S_4 \) che a \(\displaystyle g\in S_3 \) associa la permutazione di \(\displaystyle A \) data da \(\displaystyle a\in A \mapsto g\cdot a \), e viceversa, un omomorfismo tra \(\displaystyle S_3 \) e \(\displaystyle S_4 \) determina un'azione, quindi cercare tutti gli omomorfismi è equivalente al problema iniziale. Quindi ho fatto quello che ti ho detto nel messaggio iniziale. C'è qualche modo furbo per sfruttare l'azione del gruppo e rispondere più facilmente?
l'esercizio iniziale da cui sono partito è proprio sulle azioni di gruppo:
"Descrivere tutti i modi possibili su cui il gruppo simmetrico \(\displaystyle S_3 \) può agire su un insieme di 4 elementi"
Per risolvere questo esercizio, ho mostrato che, detto \(\displaystyle A \) un insieme di \(\displaystyle 4 \) elementi, un'azione di \(\displaystyle S_3 \) determina un sottogruppo del gruppo delle permutazioni di \(\displaystyle A \) (che è \(\displaystyle S_4 \) ) mediante l'omomorfismo \(\displaystyle \phi:S_3 \rightarrow S_4 \) che a \(\displaystyle g\in S_3 \) associa la permutazione di \(\displaystyle A \) data da \(\displaystyle a\in A \mapsto g\cdot a \), e viceversa, un omomorfismo tra \(\displaystyle S_3 \) e \(\displaystyle S_4 \) determina un'azione, quindi cercare tutti gli omomorfismi è equivalente al problema iniziale. Quindi ho fatto quello che ti ho detto nel messaggio iniziale. C'è qualche modo furbo per sfruttare l'azione del gruppo e rispondere più facilmente?
No, credo che il metodo che hai seguito sia il più veloce.
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