Determinare il polinomio minimo

[highlander88]

Un saluto a tutti quelli che leggeranno, sono nuovo in questo forum.
Sono impegnato sullo studio di Matematica Discreta di cui ho l'esame tra qualche giorno, e un argomento dello scritto tratta del calcolo dei polinomi minimi, l'unico argomento esercitativo che non mi è chiaro assolutamente.
Ad esempio, determinare il polinomio minimo su Q di :

$ sqrt(3 + sqrt(11)) $
$ sqrt(2)* i + sqrt(5) $
$ sqrt(5)* i + sqrt(2) $

Grazie per l'aiuto

[mistake89]

Per piacere usa le formule perchè così non si capisce nulla!

[highlander88]

"mistake89":Per piacere usa le formule perchè così non si capisce nulla!

Perdonami, sono nuovo e non ero a conoscenza di ciò. Comunque grazie per avermelo detto.

[highlander88]

Suppongo quindi che nessuno li sappia fare questi esercizi...

[mistake89]

Ti faccio vedere il primo poi gli altri analogamente...
Chiamiamo $alpha=sqrt(3+sqrt(11))$ allora $alpha^2=3+sqrt(11)$ cioè $alpha^2-3=sqrt(11)$ elevando ancora al quadrato abbiamo $alpha^4-6alpha^2+9=11$ da cui $alpha^4-6alpha^2-2=0$.

Ti basterà provare che il polinomio $x^4-6x^2-2=0$ è irriducibile su $QQ$ (tra l'altro si può fare ad occhio ) per dedurre che esso è il polinomio minimo di $alpha$

[highlander88]

"mistake89":Ti faccio vedere il primo poi gli altri analogamente...
Chiamiamo $alpha=sqrt(3+sqrt(11))$ allora $alpha^2=3+sqrt(11)$ cioè $alpha^2-3=sqrt(11)$ elevando ancora al quadrato abbiamo $alpha^4-6alpha^2+9=11$ da cui $alpha^4-6alpha^2-2=0$.

Ti basterà provare che il polinomio $x^4-6x^2-2=0$ è irriducibile su $QQ$ (tra l'altro si può fare ad occhio ) per dedurre che esso è il polinomio minimo di $alpha$

Grazie mille, ora mi è tutto chiaro.