Determinare elmenti in rel. di equivalenza
Sia ~ la corrispondenza in $Z^2$ definita da $(a,b) ∼(c,d) ⇔ 2a-3b=2c-3d$ l'esercizio chiede:
Determinare tre elementi distinti in Z^2 equivalenti a $(1,-1)$
Ci sono le soluzioni che sono le seguenti:
$(x,y) $ ~ $ (1,-1) <=> 2x-3y=2(1)-3(-1)=5$ quindi tre elementi equivalenti a (1,-1) sono:
(1,-1), (5,-5), (10,5).
Non riesco a capire perchè (5,-5) e (10, 5)... perchè?
Scusate la domanda
ma vorrei scogliere questo dubbio.
Determinare tre elementi distinti in Z^2 equivalenti a $(1,-1)$
Ci sono le soluzioni che sono le seguenti:
$(x,y) $ ~ $ (1,-1) <=> 2x-3y=2(1)-3(-1)=5$ quindi tre elementi equivalenti a (1,-1) sono:
(1,-1), (5,-5), (10,5).
Non riesco a capire perchè (5,-5) e (10, 5)... perchè?
Scusate la domanda
ma vorrei scogliere questo dubbio.
Risposte
Hai ragione: per essere equivalente, una coppia (a,b) alla nostra coppia (1,-1) i valori a,b devono soddisfare la seguente:
$2x - 3y = 5$
A questo punto possiamo permetterci di sostituire ad x o ad y un numero esistente nel campo degli interi Z a nostro piacere (o la X o la Y) ricavando poi l'altra variabile dipendentemente da quella scelta arbitrariamente.
Nelle soluzioni che hai come esempio sono riportate le scelte della X pari a 1, 5, 10.
Sapendo che è una relazione d'equivalenza sicuramente (1, -1) è equivalente a sè stesso per riflessività, facilmente dimostrabile con due conti.
Con X = 5 ----> $2*(5) - 3y = 5 -> - 3y = 5 - 10 -> 3y = 5 -> y = 5/3$ ma ora si dà il caso che 5/3 non esiste in Z dunque non è accettabile.
Ma se invece provassi con Y = -5 ? otterrei X = -5.
Ugualmente se avessi scelto X = -5 avrei trovato Y = -5.
Dunque nel secondo caso immagino sia sbagliato il segno della X perchè la coppia equivalente a (1, -1) non è (5, -5) ma (-5, -5) ;
Per il terzo caso con X = 10 -> $2*(10) - 3y = 5 -> - 3y = -15 -> y = 5$
Così la nostra coppia (10, 5) è equivalente a (1, -1)...
$2x - 3y = 5$
A questo punto possiamo permetterci di sostituire ad x o ad y un numero esistente nel campo degli interi Z a nostro piacere (o la X o la Y) ricavando poi l'altra variabile dipendentemente da quella scelta arbitrariamente.
Nelle soluzioni che hai come esempio sono riportate le scelte della X pari a 1, 5, 10.
Sapendo che è una relazione d'equivalenza sicuramente (1, -1) è equivalente a sè stesso per riflessività, facilmente dimostrabile con due conti.
Con X = 5 ----> $2*(5) - 3y = 5 -> - 3y = 5 - 10 -> 3y = 5 -> y = 5/3$ ma ora si dà il caso che 5/3 non esiste in Z dunque non è accettabile.
Ma se invece provassi con Y = -5 ? otterrei X = -5.
Ugualmente se avessi scelto X = -5 avrei trovato Y = -5.
Dunque nel secondo caso immagino sia sbagliato il segno della X perchè la coppia equivalente a (1, -1) non è (5, -5) ma (-5, -5) ;
Per il terzo caso con X = 10 -> $2*(10) - 3y = 5 -> - 3y = -15 -> y = 5$
Così la nostra coppia (10, 5) è equivalente a (1, -1)...
Scusami Simonixx, ma non riesco a capire perchè sciegliere inizialmente i valori della x pari a 1, 5 e 10...
Come vengono scelti i valori della x?
Come vengono scelti i valori della x?
Vengono scelti arbitrariamente, questo perchè non è la sola componente X a dovere essere in relazione con (1, -1) ma l'intera coppia (X, Y). Dunque se, scelta una X, trovassi una soluzione Y di quella equazione appartenente al campo Z, sarei sicuro che LA COPPIA (X, Y) è equivalente a (1, -1).
Non mi interessa quale sia la X invece mi interessa quale sia la coppia, se esiste, che abbia una X arbitraria, che soddisfi la relazione di equivalenza.
Quelle soluzioni sono "esempi": potevi scegliere X = 7,8,9, 0 e cercare di soddisfare l'equazione.
Che poi tu avessi scelto invece quelle X pari a 1, -5, 10 avresti trovato quelle 3 coppie.
Inoltre per riflessività la prima è assodata. Ma potevi tranquillamente trovare una coppia equivalente a (1, -1) del tipo (a, b) e trovare una coppia equivalente ad (a, b) e dire che questa terza coppia per transitività è equivalente a (1, -1); infatti poichè è una relazione di equivalenza soddisfa riflessività, transitività e simmetria.
(quest'ultimo paragrafetto è tanto per "giocare" con le relazioni di equivalenza)
Non mi interessa quale sia la X invece mi interessa quale sia la coppia, se esiste, che abbia una X arbitraria, che soddisfi la relazione di equivalenza.
Quelle soluzioni sono "esempi": potevi scegliere X = 7,8,9, 0 e cercare di soddisfare l'equazione.
Che poi tu avessi scelto invece quelle X pari a 1, -5, 10 avresti trovato quelle 3 coppie.
Inoltre per riflessività la prima è assodata. Ma potevi tranquillamente trovare una coppia equivalente a (1, -1) del tipo (a, b) e trovare una coppia equivalente ad (a, b) e dire che questa terza coppia per transitività è equivalente a (1, -1); infatti poichè è una relazione di equivalenza soddisfa riflessività, transitività e simmetria.
(quest'ultimo paragrafetto è tanto per "giocare" con le relazioni di equivalenza)
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