Determinare campo di spezzamento e gruppo di Galois di un polinomio.

[NinoA]

Sia $f(x)=x^3-2x-2\in QQ[x]$. Determinare il campo di spezzamento ed il gruppo di Galois di $f(x)$ su $QQ$.
Un modo potrebbe essere questo: Calcolare tutte le radici del polinomio, cosi da poter calcolare esplicitamente il campo di spezzamento, e poi determinare "a mano" il gruppo di Galois ma ciò comporterebbe lunghi calcoli noiosi (ci dovrei buttare in mezzo la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado), che non mi va di fare.
Perciò chiedo a voi se esiste un metodo intelligente per risolvere questo tipo di problemi.

[Stickelberger]

chiedo a voi se esite un metodo intelligente per risolvere questo tipo di problemi

Si ha che $f(x)=x^3-2x-2x=x^3-4x=x(x-2)(x+2)$ e quindi il campo di spezzamento e' $QQ$.

[NinoA]

EDIT:
Ovviamente intendevo $f(x)=x^3-2x-2$.

[Stickelberger]

Per il criterio di Eisenstein il polinomio $f(x)=x^3-2x-2$ e’ irriducibile.
Il gruppo di Galois e’ quindi un sottogruppo transitivo del gruppo simmetrico $S_3$.
Ci sono quindi due possibilita’: $S_3$ oppure il sottogruppo $A_3$.
Dal fatto che il discriminante di $f$ non e’ un quadrato in $QQ$, segue che
in questo caso il gruppo di Galois e’ $S_3$.

[Studente Anonimo]

Oppure, volendo usare un cannone: la decomposizione in irriducibili modulo 3 è [tex](X+2)(X^2+X+2)[/tex] quindi per un teorema di Dedekind il gruppo di Galois (che è transitivo sui tre zeri) contiene un 2-ciclo quindi è [tex]S_3[/tex].