Determinare a chi è isomorfo $(D_(2n))/(<R>)$
salve,
chiedevo consiglio sul suddetto esercizio
io so che tutti i gruppi ciclici finiti sono isomorfi a $ZZ/(nZZ)$ (mentre tutti i gruppi ciclici aperiodici sono isomorfi a $ZZ$)
quindi è corretto dire $(D_(2n))/()$ avendo cardinalità 2 è quindi isomorfo a $ZZ/(2ZZ)$?
chiedevo consiglio sul suddetto esercizio
io so che tutti i gruppi ciclici finiti sono isomorfi a $ZZ/(nZZ)$ (mentre tutti i gruppi ciclici aperiodici sono isomorfi a $ZZ$)
quindi è corretto dire $(D_(2n))/(
Risposte
Chi è $< R >$ ?
Immagino che sia il sottogruppo generato dalla "rotazione". Certo, è giusto.
"Martino":
Immagino che sia il sottogruppo generato dalla "rotazione".
si esatto,scusate se non ho specificato
"Martino":
Certo, è giusto.
cosa il mio ragionamento? significa che in tutti i casi simili mi basta vedere solo la cardinalità del gruppo?
Certo che no! Ma come saprai bene, se un gruppo ha ordine [tex]2[/tex] allora è automaticamente ciclico e quindi isomorfo a [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex]. Più in generale, se un gruppo ha ordine primo [tex]p[/tex] allora è automaticamente ciclico e quindi isomorfo a [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]. Se [tex]n[/tex] è un qualsiasi intero positivo, ogni gruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex] è isomorfo a [tex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex].
[OT] Martino è da stamattina che ogni volta che leggo i tuoi post, mi scappa l'occhio sul maialino. Davvero fantastico! [/OT]
già che ci sono vorrei dimostrare che ogni gruppo ciclico è isomorfo a un quoziente di $ZZ$,visto che nella teoria forse non mi sono convinto del tutto,dunque
credo basti far vedere che se ho due gruppi ciclici $ =G$ e $ =G'$ tali che $o(g)=o(g')$ allora posso stabilire un isomorfismo $phi:G->G'$
(in notazione moltiplicativa)prendo un generatore $g$ di $G$ questo andrà in un certo $phi(g)=g^n$ e per far si che $phi$ sia un isomorfismo dovrò porre $n!=0$ e $ = $
allora $g^h->phi(g^h)=phi(g)*...*phi(g)=g^(nh)$ .
E i due gruppi sono isomorfi,va bene?
...a questo punto se l'ordine di $g$ è $n$ sarà isomorfo a $ZZ/(nZZ)$,se invece il periodo è infinito sarà isomorfo a $ZZ/({0}) $
credo basti far vedere che se ho due gruppi ciclici $
(in notazione moltiplicativa)prendo un generatore $g$ di $G$ questo andrà in un certo $phi(g)=g^n$ e per far si che $phi$ sia un isomorfismo dovrò porre $n!=0$ e $
allora $g^h->phi(g^h)=phi(g)*...*phi(g)=g^(nh)$ .
E i due gruppi sono isomorfi,va bene?
...a questo punto se l'ordine di $g$ è $n$ sarà isomorfo a $ZZ/(nZZ)$,se invece il periodo è infinito sarà isomorfo a $ZZ/({0}) $
credo di aver detto un po' di balle...quindi cerco di riformulare la cosa:
devo provare che ogni gruppo ciclico è isomorfo a $ZZ$ o a $ZZ/(nZZ)$.
per la prima verifico che una funzione $f:ZZ->G$ con $f(n)=g^n$ ,$ninZZ$ è un isomorfismo,
$f(n_1+n_2)=g^(n_1+n_2)=g^(n_1)*g^(n_2)=f(n_1)f(n_2)$ ed è un omomorfismo
essendo ciclico è suriettivo
il $Ker(f)={ninZZ|g^n=1_G }=0$ quindi è iniettiva allora è un isomorfismo.
Ora per dimostrare che ogni gruppo ciclico è isomorfo a $ZZ/(nZZ)$ uso lo stesso criterio e ragiono sull'applicazione $phi:ZZ/(nZZ)->G$ con $f(barn)=g^n$
il problema è che non so dimostrare la buona definizione,cioè come faccio a dire che ad ogni $barn$ associo un solo $g^n$?
devo provare che ogni gruppo ciclico è isomorfo a $ZZ$ o a $ZZ/(nZZ)$.
per la prima verifico che una funzione $f:ZZ->G$ con $f(n)=g^n$ ,$ninZZ$ è un isomorfismo,
$f(n_1+n_2)=g^(n_1+n_2)=g^(n_1)*g^(n_2)=f(n_1)f(n_2)$ ed è un omomorfismo
essendo ciclico è suriettivo
il $Ker(f)={ninZZ|g^n=1_G }=0$ quindi è iniettiva allora è un isomorfismo.
Ora per dimostrare che ogni gruppo ciclico è isomorfo a $ZZ/(nZZ)$ uso lo stesso criterio e ragiono sull'applicazione $phi:ZZ/(nZZ)->G$ con $f(barn)=g^n$
il problema è che non so dimostrare la buona definizione,cioè come faccio a dire che ad ogni $barn$ associo un solo $g^n$?
Beh ma $g$ è fissato ed il generatore del gruppo $G$ che è ciclico per ipotesi. Quindi $g^n$ non può che essere un ben preciso elemento di $G$.
"mistake89":
Beh ma $g$ è fissato ed il generatore del gruppo $G$ che è ciclico per ipotesi. Quindi $g^n$ non può che essere un ben preciso elemento di $G$.
non occorre precisare che $n$ è tale che $n+kq-=n (mod m)$ cioè che $n$ di $g^n$ appartiene alla classe di $barn$?
Scusami ma non sto capendo. Qual è la cosa che non ti torna?
se faccio una funzione ponendo
$bar(n)rarrg^n$ (singoli elementi)
devo assicurarmi che ogni $ninbarn$ vada in un solo $g^n$ dove $barn$ è una classe di equivalenza rispetto alla congruenza,quindi devo assicurarmi che ogni $n$ di $g^n$,sia congruo modulo un $m$ fissato. Credo..
$bar(n)rarrg^n$ (singoli elementi)
devo assicurarmi che ogni $ninbarn$ vada in un solo $g^n$ dove $barn$ è una classe di equivalenza rispetto alla congruenza,quindi devo assicurarmi che ogni $n$ di $g^n$,sia congruo modulo un $m$ fissato. Credo..
Il fatto è che tu consideri la funzione $n in ZZ \to g^n$.
Questa funziona si vede facilmente che è surgettiva.
Per il teorema fondamentale di omomorfismo hai che $ZZ// Kerf \cong Im(f)=G$.
Se $ker f= {0}$ allora $g$ è aperiodico.
Se invece $g$ ha periodo $n$, $g^k=1 \rArr n|k$, allora $kerf={k in ZZ| k=nh, h in ZZ}=ZZ_n$, quindi $G \cong ZZ//Kerf \cong ZZ_n$.
fine!
Questa funziona si vede facilmente che è surgettiva.
Per il teorema fondamentale di omomorfismo hai che $ZZ// Kerf \cong Im(f)=G$.
Se $ker f= {0}$ allora $g$ è aperiodico.
Se invece $g$ ha periodo $n$, $g^k=1 \rArr n|k$, allora $kerf={k in ZZ| k=nh, h in ZZ}=ZZ_n$, quindi $G \cong ZZ//Kerf \cong ZZ_n$.
fine!
grazie per la risposta mistake89,come sempre mi sei di grande aiuto, scusa se rispondo ora sono partito per fare l'esame.ciao!
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