Delucidazione su classi congruenza - aritmetica modulare
Ciao a tutti. Ho un dubbio su $a=b(mod n)$: le classi di congruenza di $n$ sono definite dall'insieme: $ZZ_n = {[0], [1], ..., [n-1]}$ (per cui ne deduco $ZZ_n sub N_0$ e che $|ZZ_n|=n$ corretto no?).
il mio dubbio è questo: se calcolo $a=b(mod n)$ credo che $a in ZZ_n$ ma se ad esempio $b=-5, n=2$ allora $a=-1$ che è un numero negativo che formalmente non fa parte di $ZZ_n$. Dove sbaglio?
il mio dubbio è questo: se calcolo $a=b(mod n)$ credo che $a in ZZ_n$ ma se ad esempio $b=-5, n=2$ allora $a=-1$ che è un numero negativo che formalmente non fa parte di $ZZ_n$. Dove sbaglio?
Risposte
"ReggaetonDj":
ne deduco $ZZ_n sub N_0$
Questo non è esatto. $ZZ_n$ consiste delle classi modulo $n$, quindi gli elementi di $ZZ_n$ sono insiemi di numeri interi: formalmente $ZZ_n sub P(ZZ)$. Se denoto con $[a]_n$ queste classi (dove $a in ZZ$) allora per esempio $[1]_n = \{1,n+1,-n+1,2n+1,-2n+1,...\}$. Puoi verificare che le seguenti tre cose sono equivalenti:
(1) $[a]_n = _n$
(2) $a in _n$
(3) $b in [a]_n$
Puoi dedurre che $ZZ_n sub P(ZZ)$ è una partizione di $ZZ$.
il mio dubbio è questo: se calcolo $a=b(mod n)$ credo che $a in ZZ_n$ ma se ad esempio $b=-5, n=2$ allora $a=-1$ che è un numero negativo che formalmente non fa parte di $ZZ_n$. Dove sbaglio?
$a equiv b\ mod(n)$ significa per definizione $[a]_n = _n$ (e questo significa $n|(a-b)$). Non si tratta quindi di un'uguaglianza tra interi ma tra classi. Per esempio se $b=-5$ e $n=2$ allora scrivere $a equiv -5\ mod(2)$ significa $[a]_2 = [-5]_2$. Ora siccome $[-5]_2 = [1]_2$, puoi scrivere $1$ al posto di $-5$ se i numeri negativi ti infastidiscono. Ottieni allora $[a]_2 = [1]_2$, cioè $a equiv 1\ mod(2)$, che dovrebbe risultarti più familiare.
Perfetto Grazie Martino! 
Fondamentalmente posso quindi ricondurre ogni intero negativo, o meglio, classe con "argomento" negativo ad una elemento classe di $ZZ_n$!
Però la cosa strana è che negli ambienti di programmazione scrivere $(-5)mod(2)$ mi dà $-1$...
Anche se non è fondamentale per ciò che sto facendo posso chiedere ulteriori delucidazioni sul discorso della partizione? Se non ho confuso le notazioni dici che $ZZ_n$ è incluso una partizione di $ZZ$.
Spero non caschino le braccia con ste mie domande ( ::Very Embarassed:: ) :p
Ciao!
Fondamentalmente posso quindi ricondurre ogni intero negativo, o meglio, classe con "argomento" negativo ad una elemento classe di $ZZ_n$!
Però la cosa strana è che negli ambienti di programmazione scrivere $(-5)mod(2)$ mi dà $-1$...
Anche se non è fondamentale per ciò che sto facendo posso chiedere ulteriori delucidazioni sul discorso della partizione? Se non ho confuso le notazioni dici che $ZZ_n$ è incluso una partizione di $ZZ$.
Spero non caschino le braccia con ste mie domande ( ::Very Embarassed:: ) :p
Ciao!
"ReggaetonDj":
Però la cosa strana è che negli ambienti di programmazione scrivere $(-5)mod(2)$ mi dà 1...
Non è strano, visto che $-5 = (-3)*2 +1$
Anche se non è fondamentale per ciò che sto facendo posso chiedere ulteriori delucidazioni sul discorso della partizione? Se non ho confuso le notazioni dici che $ZZ_n$ è incluso in una partizione di $ZZ$.
Come è stato detto correttamente $ZZ_n$ è composto da classi.
Le classi sono insiemi di numeri che sottostanno alla stessa relazione ($a\equivb(n)$ o meglio $n|a-b$) e quindi sono delle parti di $ZZ$ naturalmente allora:
$ZZ_n=ZZ/\sim sub P(ZZ)$
Qui il quoziente ti fa vedere che mediante la relazione $a\simb \Leftrightarrow n|a-b$ si divide $ZZ$ in sottoinsiemi denominati classi.
Ciao Lord K, grazie ma vi ho detto una cosa sbagliata. Correggo il III post e Riporto anche qui il testo esatto:
inoltre c'è un modo per dimostrare formalmente le 3 equivalenze citate da martino nel II post?
Scusate ma mi sono dovuto catapultare nell'argomento e in rete non ho trovato molti documenti utili...
Grazie! Ciao!!!
Però la cosa strana è che negli ambienti di programmazione scrivere $(-5)mod(2)$ mi dà $-1$...
inoltre c'è un modo per dimostrare formalmente le 3 equivalenze citate da martino nel II post?
Scusate ma mi sono dovuto catapultare nell'argomento e in rete non ho trovato molti documenti utili...
Grazie! Ciao!!!
Osserva che alla fine:
$-5\equiv -1 \equiv 1 (2)$!!!!
Le tre equivalenze sono banali... meglio sarebbe un approfondito studio delle definizioni di classe e di $ZZ_n$
$-5\equiv -1 \equiv 1 (2)$!!!!
Le tre equivalenze sono banali... meglio sarebbe un approfondito studio delle definizioni di classe e di $ZZ_n$
ok. Ma in rete c'è nulla che voi sappiate?
Infine vi chiedo ancora una cosa:
se devo specificare che un oggetto x appartenga alla classe $[a]_n$ o $_n$ o $[c]_n$ (con $a,b,c$ interi consecutivi) han senso tutte e quattro le notazioni:
(i)
definisco $A_n=$ ${[a]_n,$ $_n,$ $[c]_n}$ con $A_n sub Z_n$ e dico $x in A_n$
(ii)
$x in _n$ $AA i in [a,c]$
(iii)
$x in [a]_n vvv ... vvv x in [c]_n$
(iv)
$x in [a,c]_n$
Ciao!
Infine vi chiedo ancora una cosa:
se devo specificare che un oggetto x appartenga alla classe $[a]_n$ o $_n$ o $[c]_n$ (con $a,b,c$ interi consecutivi) han senso tutte e quattro le notazioni:
(i)
definisco $A_n=$ ${[a]_n,$ $_n,$ $[c]_n}$ con $A_n sub Z_n$ e dico $x in A_n$
(ii)
$x in _n$ $AA i in [a,c]$
(iii)
$x in [a]_n vvv ... vvv x in [c]_n$
(iv)
$x in [a,c]_n$
Ciao!
Secondo me stai facendo un po' di confusione.
No, $x$ non appartiene ad $A_n$ ma ad un elemento di $A_n$.
Perché "per ogni"? Non avevi detto che $x$ sta in $[a]_n$ oppure in $_n$ oppure in $[c]_n$ ?
Questa è giusta.
A parte che la notazione $x in [a,c]_n$ (che immagino voglia dire che $x in [a]_n$, $x in _n$, $x in [c]_n$) è un po' singolare, direi che non puoi dire questo se sai solo che $x$ appartiene ad almeno una tra le tre classi.
Non capisco, volevi sapere se le notazioni avevano senso? (domanda tra l'altro mal posta perché una notazione ha senso in quanto tale, essendo una definizione) Oppure volevi sapere quali notazioni erano coerenti con la premessa che hai fatto?
Secondo me le questioni da te poste sono un po' inconsistenti (non centrano il punto della questione), io ti consiglierei di studiare bene da solo l'argomento prima di porre domande, altrimenti solo per risponderti bisogna ripartire dall'inizio (dato che tu - a quanto capisco - non hai molta dimestichezza con questo argomento).
Ciao.
"ReggaetonDj":
se devo specificare che un oggetto x appartenga alla classe $[a]_n$ o $_n$ o $[c]_n$ (con $a,b,c$ interi consecutivi) han senso tutte e quattro le notazioni:
(i)
definisco $A_n=$ ${[a]_n,$ $_n,$ $[c]_n}$ con $A_n sub Z_n$ e dico $x in A_n$
No, $x$ non appartiene ad $A_n$ ma ad un elemento di $A_n$.
(ii)
$x in _n$ $AA i in [a,c]$
Perché "per ogni"? Non avevi detto che $x$ sta in $[a]_n$ oppure in $_n$ oppure in $[c]_n$ ?
(iii)
$x in [a]_n vvv ... vvv x in [c]_n$
Questa è giusta.
(iv)
$x in [a,c]_n$
A parte che la notazione $x in [a,c]_n$ (che immagino voglia dire che $x in [a]_n$, $x in _n$, $x in [c]_n$) è un po' singolare, direi che non puoi dire questo se sai solo che $x$ appartiene ad almeno una tra le tre classi.
Non capisco, volevi sapere se le notazioni avevano senso? (domanda tra l'altro mal posta perché una notazione ha senso in quanto tale, essendo una definizione) Oppure volevi sapere quali notazioni erano coerenti con la premessa che hai fatto?
Secondo me le questioni da te poste sono un po' inconsistenti (non centrano il punto della questione), io ti consiglierei di studiare bene da solo l'argomento prima di porre domande, altrimenti solo per risponderti bisogna ripartire dall'inizio (dato che tu - a quanto capisco - non hai molta dimestichezza con questo argomento).
Ciao.
Ciao, sì esatto volevo sapere se le notazioni erano coerenti con la premessa che ho fatto.
Mi scuso, la domanda è mal posta (e mi sono fatto uno strafalcione niente male).
Senza stare a comprare testi sai mica se vi sono on line documenti esaustivi sull'argomento?
Ciao e grazie!!!
Mi scuso, la domanda è mal posta (e mi sono fatto uno strafalcione niente male).
Senza stare a comprare testi sai mica se vi sono on line documenti esaustivi sull'argomento?
Ciao e grazie!!!
Cerca su google: Aritmetica_modulare
Scarica il pdf.
è un wikibooks scritto a mio parere molto bene e dovrebbe chiarire tutti i tuoi dubbi sia dal punto di vista teorico che formale.
Ciao
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è un wikibooks scritto a mio parere molto bene e dovrebbe chiarire tutti i tuoi dubbi sia dal punto di vista teorico che formale.
Ciao
Ciao Krek! Grazie scarico subito!!!
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