Delirii da matematici
mentre forse qualcuno (me compreso) si danna per dimostrare che k non divide mai 2^k - 1, do un altro esercizio semplice semplice (uhuh)
Per ogni primo dispari p si definisce sugni interi positivi n la funzione
Lp(n) = #{2 <= m <= n tale che (p^m - 1)/2m è un intero positivo}
darne una stima asintotica.
bah...
ciao, ubermensch
Per ogni primo dispari p si definisce sugni interi positivi n la funzione
Lp(n) = #{2 <= m <= n tale che (p^m - 1)/2m è un intero positivo}
darne una stima asintotica.
bah...
ciao, ubermensch
Risposte
Suvvia , scherza !!!
Camillo
Camillo
"camillo":
Suvvia , scherza !!!
Camillo
Chi scherza? io no.
Comunque lo scopo di sto post è la stima sintotica di Lp(n), su diamoci da fare...
"ubermensch":
sembra vi sia un inaspettato legame con il logaritmo in base due di n... addirittura per p=3 sembra risulti
L3(n) = lg2(n)
Questo si spiega in termini di "generatori", i primi due generatori per $a=3$ sono 2 e 20, quindi è normale che per n < 20 sia soddisfatta la relazione.
il numero di soluzioni dell'equazione $L_a(n)=log_2(n)$ è sempre finito se $a != 2^k-1$, infatti in tal caso esistono sempre almeno due "generatori", 2 e $a+1$ poichè ovviamente $a -= -1 mod a+1$ allora $a^(a+1)-1 -= 0 mod 2(a+1)$ dato che
sia $a+1$ e $a^(a+1)-1$ sono pari.
A me sorge spontanea una domanda: anche volendo e avendone le capacità (cosa per niente rara visto che le nuove generazioni stanno dimostrandosi intelligenti) un ragazzo di 14 anni dove può studiare algebra lineare? quale scuola hai frequentato in cui ti hanno fatto fare un programma di algebra più ampio rispetto a quello che si fa al primo anno di università alla facoltà di ingegneria?
"Kroldar":
A me sorge spontanea una domanda: anche volendo e avendone le capacità (cosa per niente rara visto che le nuove generazioni stanno dimostrandosi intelligenti) un ragazzo di 14 anni dove può studiare algebra lineare? quale scuola hai frequentato in cui ti hanno fatto fare un programma di algebra più ampio rispetto a quello che si fa al primo anno di università alla facoltà di ingegneria?
Ma, ho capito che l'interesse si è spostato dalle stime asintotiche...
non devo alla scuola nulla di quello che so di algebra, ho provato un pò da solo e con l'aiuto di qualche libro (più che altro formulari, hanno lo svantaggio che sono privi di dimostrazioni, ma il vantaggio che uno può trovarle da solo).
In generale studio da autodidatta un pò di tutte le branche della Matematica. Preferisco principalmente la Teoria dei Numeri, mi sembra un campo in cui sia molto facile fare congetture, e molto difficile dimostrarle.
Adesso mi sto occupando di un legame tra alcune funzioni generatrici e alcune funzioni integrali ottenute da opportuni sviluppi in serie di Fourier (vedi "CONGETTURE E LIBERA RICERCA\CHIEDO A TUTTI UN PARERE") e forse ci salta fuori qualche integrale ellittico.
Mi ha fatto piacere il tuo interessamento.
Ciao,ciao!!
Ma figurati se tu hai davvero 14 anni... Se fosse vero saresti già laureato in america..
La conoscenza di carlo23 della matematica e' impressionante per uno che studia da autodidatta! Io ne so moolto ma moolto meno ed e' (quasi) tutta roba che ho studiato in esami regolarmente previsti....
Se poi hai veramente 14 anni complimenti!
Dovresti farti seguire da qualche prof. universitario: nel giro di pochi anni arriveresti a fare ricerca ai massimi livelli...
Se poi hai veramente 14 anni complimenti!
Dovresti farti seguire da qualche prof. universitario: nel giro di pochi anni arriveresti a fare ricerca ai massimi livelli...
Sono d'accordo col coro....
PORKEN DARKEN!!!! Ma come fai???
Wooooooooooooooooooooooooooow!!!!Per di più studi come autodidatta!!!!
A questo punto, se è vero ciò che dici, non nascondono il fatto che in questo momento mi sento l'essere più ignorante della terra!!!!
PORKEN DARKEN!!!! Ma come fai???
Wooooooooooooooooooooooooooow!!!!Per di più studi come autodidatta!!!!
A questo punto, se è vero ciò che dici, non nascondono il fatto che in questo momento mi sento l'essere più ignorante della terra!!!!
Prima di tutto ringrazio tutti dei complimenti (forse anche un pò esagerati),
alcuni sono increduli e lo considero come un complimento.
Spero di riuscire a trovare qualche "aggancio" come diceva david_e, però non è così facile.
Io vivo in una piccola città (per chi la conoscesse Biella), è mi è difficile trovare
qualcuno con cui parlare di Matematica, anzi è da quando ho scoperto questo forum che
parlo con qualcuno di Matematica, sapete com'è: per parlare con gente che non capisce e ti
guarda in modo sempre più strano è meglio stare zitti.
Ci terrei a precisare che comunque sono più un teorico che un risolutore di problemi, e
purtroppo è più facile stupire la gente risolvendo un problema che elaborando una nuova teoria.
Vi ringrazio ancora tutti!
Ciao, ciao!
alcuni sono increduli e lo considero come un complimento.
Spero di riuscire a trovare qualche "aggancio" come diceva david_e, però non è così facile.
Io vivo in una piccola città (per chi la conoscesse Biella), è mi è difficile trovare
qualcuno con cui parlare di Matematica, anzi è da quando ho scoperto questo forum che
parlo con qualcuno di Matematica, sapete com'è: per parlare con gente che non capisce e ti
guarda in modo sempre più strano è meglio stare zitti.
Ci terrei a precisare che comunque sono più un teorico che un risolutore di problemi, e
purtroppo è più facile stupire la gente risolvendo un problema che elaborando una nuova teoria.
Vi ringrazio ancora tutti!
Ciao, ciao!
comunque mi devi spiegare dove hai trovato il tempo di studiare tutta quella roba...
Infatti... anche iniziando lo studio della matematica a 10 anni non ce l'avresti fatta... in altri post hai parlato di serie, integrali, funzioni iperboliche... questo implica una conoscenza dell'analisi matematica (non dico analisi complessa ma almeno analisi reale), che a sua volta ha alla base l'algebra, la geometria analitica e la goniometria. Tutto il programma di matematica dei 5 anni del liceo scientifico dunque. Farlo da piccoli lo trovo alquanto massacrante per un bambino... impararlo dai libri poi, senza alcuna spiegazione da parte di qualcuno più esperto mi sembra una cosa talmente fuori dal comune... Se a questo aggiungi l'algebra lineare e la teoria dei numeri, ci vorrebbero 6 o 7 anni ALMENO per apprendere tutta sta roba... Mah
Ma non è che tuo padre o tua madre o un qualche parente è un insegnante??? Si spiegherebbe meglio se qualcuno te ne avesse parlato fin da piccino!!!!
6 o 7 anni, ma senza andare a scuola..
dunque, Carlo, per rispetto alla mia intelligenza mi sforzerò di non credere che tu abbia 14 anni.. come potrei fare matematica pensando che un ragazzino sia molto più bravo di me!!??
detto questo, direi di tornare al nostro problema:
ho letto quello che hai fatto: mi sembra tutto giusto, ma non vedo dove ci possa portare in quanto quello che hai fatto non ci consente di ridurre lo studio degli h tali che p^h=1(h) agli h primi e quindi ristiamo da capo a 12! ovvero non abbiamo nessuna ulteriore informazione su chi siano questi h.
ciao, ubermensch
p.s. mi sono accorto che il mio programma in C ha dei problemi, quindi dimenticati di quelle stime che ho dato precedentemente.. per alcuni primi sono esatte, ma per altri completamente sballate!!
detto questo, direi di tornare al nostro problema:
ho letto quello che hai fatto: mi sembra tutto giusto, ma non vedo dove ci possa portare in quanto quello che hai fatto non ci consente di ridurre lo studio degli h tali che p^h=1(h) agli h primi e quindi ristiamo da capo a 12! ovvero non abbiamo nessuna ulteriore informazione su chi siano questi h.
ciao, ubermensch
p.s. mi sono accorto che il mio programma in C ha dei problemi, quindi dimenticati di quelle stime che ho dato precedentemente.. per alcuni primi sono esatte, ma per altri completamente sballate!!
Io sono ancora incredulo. Shockato. Dovresti essere il nuovo Erdos. Il nuovo Ramanujan, come ha detto signor.nessuno, col rigore matematico in piu'. Ci potresti spiegare come a 14 anni sei riuscito ad imparare tutta questa matematica? Il tempo di mangiare, andare a scuola, fare i compiti? Incredibile.
[quote=ubermensch]ho letto quello che hai fatto: mi sembra tutto giusto, ma non vedo dove ci possa portare in quanto quello che hai fatto non ci consente di ridurre lo studio degli h tali che p^h=1(h) agli h primi e quindi ristiamo da capo a 12! ovvero non abbiamo nessuna ulteriore informazione su chi siano questi h.[quote]
Si, in effetti non ho fatto grandi passi avanti, mi sono fatto un pò prendere... però sarebbe bello trovare una formula ESATTA per $L_a(n)$, anche se prima sarebbe meglio trovare una stima asintotica. Comunque adesso sappiamo che ci troviamo di fronte a un problema moltiplicatorio, e se $a != 2^n-1$ abbiamo anche la stima per eccesso
$L_a(n) > [log_2(n)]+[log_(a+1)(n)]$
dove $[x]$ è la parte intera di $x$.
Forse riusciremo a risolvere il problema, comunque devo dire che insieme abbiamo trovato molte congettute interessanti.
Ciao!
Si, in effetti non ho fatto grandi passi avanti, mi sono fatto un pò prendere... però sarebbe bello trovare una formula ESATTA per $L_a(n)$, anche se prima sarebbe meglio trovare una stima asintotica. Comunque adesso sappiamo che ci troviamo di fronte a un problema moltiplicatorio, e se $a != 2^n-1$ abbiamo anche la stima per eccesso
$L_a(n) > [log_2(n)]+[log_(a+1)(n)]$
dove $[x]$ è la parte intera di $x$.
Forse riusciremo a risolvere il problema, comunque devo dire che insieme abbiamo trovato molte congettute interessanti.
Ciao!
Ho fatto alcuni progressi con la congettura di ubermensch riguardo $k>1$ che non divide mai $2^k-1$.
Pensavo di aspettare di dimostrare il caso generale, ma ho visto che sono ancora molto lontano, quindi posto
la dimostrazione di un altro caso particolare. Magari qualcuno leggendola riesce a dimostrare il caso generale.
Però prima riassumo un attimo i passi che abbiamo fatto e dove siamo arrivati:
$k>1$ non divide mai $2^k-1$ per
1) $k$ pari
2) $k$ numero primo
3) $k$ potenza di un numero primo
4) $k=pq$ dove $p$ e $q$ sono due numeri primi distinti
Dimostrazione del caso 4
La dimostrazione segue dal seguente:
Teorema (credo di Eulero)
Siano $p$ e $q$ due numeri primi tali che $p$ divide $2^q-1$, allora $p -= 1mod 2q$
Mettiamo che $k>1$ divida $2^k-1$, con $k=pq$ dove $p$ e $q$ sono due numeri primi tali che $p
$(2^p-1)^q -= 2^(pq)-1 -= 0 mod q$
e anche che
$(2^q-1)^p -= 2^(pq)-1 -= 0 mod p$
essendo $p$ un numero primo $a^s -= 0 mod p$ implica $a -= 0 mod p$ e quindi abbiamo che
$q$ divide $2^p-1$
$p$ divide $2^q-1$
adesso non ci resta che applicare il teorema di Eulero e otteniamo
$q -= 1 mod 2p$
$p -= 1 mod 2q$
dato che sia $p$ che $q$ sono >1 dalla prima e dalla seconda di queste ultime uguaglianze
si ricava rispettivamente
$q>2p$
$p>2q$
ma ciò e ovviamente impossibile e conclude la dimostrazione.
Rimane solo il caso più difficile: $k$ intero qualsiasi...
Pensavo di aspettare di dimostrare il caso generale, ma ho visto che sono ancora molto lontano, quindi posto
la dimostrazione di un altro caso particolare. Magari qualcuno leggendola riesce a dimostrare il caso generale.
Però prima riassumo un attimo i passi che abbiamo fatto e dove siamo arrivati:
$k>1$ non divide mai $2^k-1$ per
1) $k$ pari
2) $k$ numero primo
3) $k$ potenza di un numero primo
4) $k=pq$ dove $p$ e $q$ sono due numeri primi distinti
Dimostrazione del caso 4
La dimostrazione segue dal seguente:
Teorema (credo di Eulero)
Siano $p$ e $q$ due numeri primi tali che $p$ divide $2^q-1$, allora $p -= 1mod 2q$
Mettiamo che $k>1$ divida $2^k-1$, con $k=pq$ dove $p$ e $q$ sono due numeri primi tali che $p
$(2^p-1)^q -= 2^(pq)-1 -= 0 mod q$
e anche che
$(2^q-1)^p -= 2^(pq)-1 -= 0 mod p$
essendo $p$ un numero primo $a^s -= 0 mod p$ implica $a -= 0 mod p$ e quindi abbiamo che
$q$ divide $2^p-1$
$p$ divide $2^q-1$
adesso non ci resta che applicare il teorema di Eulero e otteniamo
$q -= 1 mod 2p$
$p -= 1 mod 2q$
dato che sia $p$ che $q$ sono >1 dalla prima e dalla seconda di queste ultime uguaglianze
si ricava rispettivamente
$q>2p$
$p>2q$
ma ciò e ovviamente impossibile e conclude la dimostrazione.
Rimane solo il caso più difficile: $k$ intero qualsiasi...
nel mio libro c'è una dimostrazione del teorema che nessun numero naturale maggiore di 1 divide
2^n -1 , se volete ve la posto...
2^n -1 , se volete ve la posto...
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