Definizioni semplici
mi date delle definizioni terra terra di questi termini affinchè io possa capire se ho compreso bene il loro significato. ps non mi serve la simbologia. ma una semplice descrizione.grazie
i termini sono:
CONTROIMMAGINE
FUNZIONE INVERTIBILE
FUNZIONE INVERSA
i termini sono:
CONTROIMMAGINE
FUNZIONE INVERTIBILE
FUNZIONE INVERSA
Risposte
Perchè non provi tu a scrivere le definizioni? Tranquilla, anche terra terra (come dici tu 
): noi non giudicheremo assolutamente la correttezza formale, ma solo il contenuto.
Che dici?
): noi non giudicheremo assolutamente la correttezza formale, ma solo il contenuto. Che dici?
allora io partirei dicendo:
controimmagine:associare ad elementi delle y elementi delle x (cioè uNA SORTA DI DOMINIO DEGLI ELEMENTI SULLE Y);
funzione invertibile: funzione in cui scambi le componenti rispetto alla semplice funzione.
però di quest'ultima non ho ben compreso il legame con l'iniettività.
controimmagine:associare ad elementi delle y elementi delle x (cioè uNA SORTA DI DOMINIO DEGLI ELEMENTI SULLE Y);
funzione invertibile: funzione in cui scambi le componenti rispetto alla semplice funzione.
però di quest'ultima non ho ben compreso il legame con l'iniettività.
scusate...volevo dire...funzione inversa: funzione in cui scambi le componenti rispetto alla semplice funzione.
però di quest'ultima non ho ben compreso il legame con l'iniettività.
però di quest'ultima non ho ben compreso il legame con l'iniettività.
se non ho capito male la controimmagine è grosso modo quello che hai detto: (sempre continuando non formalmente) sai bene che una funzione è un'applicazione che ad ogni elemento del dominio (chiamiamole x) associa un unico elemento del codominio (chiamiamolo y); nel caso la funzione sia invertibile (dove sia possibile), la funzione inversa assocerà ad ogni elemento di quello che prima era il codominio (ovvero l'insieme delle y) uno ed un solo elemento di quello che prima era il dominio (ovvero l'insieme delle x). l'immagine della funzione inversa è detta controimmagine!
Il legame con bigettività è scritto implicitamente nelle mie parole: se una funzione non fosse surgettiva non si potrebbe più associare ad ogni elemento del codomio un elemento del dominio, poichè esisterebbero degli elementi che non sono immagine di nessuno, di conseguenza non possegono contro immagine. Se la funzione non fosse ingettiva, ad elementi distinti dell'insieme di partenza verrebbero associate immagini uguali. Quindi quando si inverte la funzione, ad un elemento corrisponderebbero due immagini e questa cosa è in contraddizione con la definizione di funzione.
Spero di essere stato chiaro.
Il legame con bigettività è scritto implicitamente nelle mie parole: se una funzione non fosse surgettiva non si potrebbe più associare ad ogni elemento del codomio un elemento del dominio, poichè esisterebbero degli elementi che non sono immagine di nessuno, di conseguenza non possegono contro immagine. Se la funzione non fosse ingettiva, ad elementi distinti dell'insieme di partenza verrebbero associate immagini uguali. Quindi quando si inverte la funzione, ad un elemento corrisponderebbero due immagini e questa cosa è in contraddizione con la definizione di funzione.
Spero di essere stato chiaro.
si ho capito bene grazie altri riscontri?
altri riscontri?
quindi controimmagine= insieme delle x
Sinceramente non capisco l'intervento di mistake89... Legare la controimmagine all'esistenza dell'inversa è un errore grave, secondo me.
Ora do una mia interpretazione della questione, che non so quanto sia condivisa dagli algebristi; anzi, mi farebbe piacere sentire anche loro.
Innanzitutto, la controimmagine non è una "funzione di punto", ma una "funzione d'insieme", nel senso che dico adesso.
Prendiamo una funzione (qualsiasi) $f:X\to Y$ e scegliamo un $B\subseteq Y$; la controimmagine di $B$ mediante $f$ è un insieme di $X$, e precisamente l'insieme di tutti quegli elementi $x\in X$ tali che $f(x)\in B$; fuori dai simboli, la controimmagine di $B$ è fatta da tutti gli $x\in X$ che vengono "portati" in $B$ da $f$.
Anche quando parlo di "controimmagine del punto $y\in Y$", intendo la controimmagine del singleton $\{ y\}$.
La controimmagine di solito si denota con $f^(-1)(B)$ epperò questa notazione si presta ad essere fraintesa, in quanto $f^(-1)$ di solito serve a denotare la funzione inversa di $f$ (mentre per definire la controimmagine non serve richiedere che $f$ sia invertibile!); anche per questo io uso il simbolo $f$ con una freccina sopra orientata da destra a sinistra, così $\stackrel{ \leftarrow}{f}$.
Quindi per me la $\stackrel{ \leftarrow}{f}$ è, essenzialmente, una funzione di $P(Y)$ in $P(X)$.
Per quanto riguarda il resto...
Beh, funzione $f:X\to Y$ invertibile quando è iniettiva (a punti distinti di $X$ corrispondono punti distinti di $Y$) e suriettiva ($f(X)=Y$).
L'inversa di una funzione invertibile è l'applicazione $f^(-1):Y\to X$ che restituisce, per ogni $y\in Y$, l'unico $x\in X$ che viene "portato" su $y$ da $f$.
Alla luce di quanto ho detto prima, il rapporto tra controimmagine di una funzione invertibile $f$ e la funzione inversa $f^(-1)$ per me è il seguente: $\stackrel{\leftarrow}{f} (\{ y\})=\{ f^(-1)(y)\}$.
Ora do una mia interpretazione della questione, che non so quanto sia condivisa dagli algebristi; anzi, mi farebbe piacere sentire anche loro.
Innanzitutto, la controimmagine non è una "funzione di punto", ma una "funzione d'insieme", nel senso che dico adesso.
Prendiamo una funzione (qualsiasi) $f:X\to Y$ e scegliamo un $B\subseteq Y$; la controimmagine di $B$ mediante $f$ è un insieme di $X$, e precisamente l'insieme di tutti quegli elementi $x\in X$ tali che $f(x)\in B$; fuori dai simboli, la controimmagine di $B$ è fatta da tutti gli $x\in X$ che vengono "portati" in $B$ da $f$.
Anche quando parlo di "controimmagine del punto $y\in Y$", intendo la controimmagine del singleton $\{ y\}$.
La controimmagine di solito si denota con $f^(-1)(B)$ epperò questa notazione si presta ad essere fraintesa, in quanto $f^(-1)$ di solito serve a denotare la funzione inversa di $f$ (mentre per definire la controimmagine non serve richiedere che $f$ sia invertibile!); anche per questo io uso il simbolo $f$ con una freccina sopra orientata da destra a sinistra, così $\stackrel{ \leftarrow}{f}$.
Quindi per me la $\stackrel{ \leftarrow}{f}$ è, essenzialmente, una funzione di $P(Y)$ in $P(X)$.
Per quanto riguarda il resto...
Beh, funzione $f:X\to Y$ invertibile quando è iniettiva (a punti distinti di $X$ corrispondono punti distinti di $Y$) e suriettiva ($f(X)=Y$).
L'inversa di una funzione invertibile è l'applicazione $f^(-1):Y\to X$ che restituisce, per ogni $y\in Y$, l'unico $x\in X$ che viene "portato" su $y$ da $f$.
Alla luce di quanto ho detto prima, il rapporto tra controimmagine di una funzione invertibile $f$ e la funzione inversa $f^(-1)$ per me è il seguente: $\stackrel{\leftarrow}{f} (\{ y\})=\{ f^(-1)(y)\}$.
Ciao Gugo, forse non mi sono espresso bene.
Quello che tu hai detto mi è ben chiaro, ma visto che euclidegirl parlava di funzioni inverse e della relazione con l'ingettività, mi sembrava opportuno legare la controimmagine alla funzione inversa, non caratterizzarne l'esistenza; infatti non intendevo dire con il mio "è detta" qual è la definizione di controimmagine, ma di far capire nella fattispecie quale potesse essere, con un esempio concreto. Purtroppo non essere formali (volutamente) nell'esposizione genera delle confusioni e di questo me ne scuso se è stato possibile fraintendere.
Quello che tu hai detto mi è ben chiaro, ma visto che euclidegirl parlava di funzioni inverse e della relazione con l'ingettività, mi sembrava opportuno legare la controimmagine alla funzione inversa, non caratterizzarne l'esistenza; infatti non intendevo dire con il mio "è detta" qual è la definizione di controimmagine, ma di far capire nella fattispecie quale potesse essere, con un esempio concreto. Purtroppo non essere formali (volutamente) nell'esposizione genera delle confusioni e di questo me ne scuso se è stato possibile fraintendere.
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