[Definizione]Somma diretta tra moduli

[Lorin1]

Come da titolo, vi sarei grato se qualcuno mi potesse spiegare per bene come funziona la somma diretta tra moduli, in particolare mi servirebbe una definizione non troppo complessa da digerire e, sempre se non avete troppo da fare , vorrei un attimo capire chi sono gli elementi che si ottengono dalla somma diretta tra un anello $R$ e un ideale generato da $(X_1,....,X_m)$

Grazie

[killing_buddha]

La definizione meno complessa che conosc(iamo) usa una proprieta' universale, ti aggrada?

[Lorin1]

La definizione tramite la proprietà universale mi pare di averla vista sul libro "Lezioni di Algebra (Curzio, Longobardi, Maj)", però se non ti scoccia scrivimela comunque, magari è più semplice la tua formulazione.

[killing_buddha]

Sia $I$ un insieme, $\{M_i\}_{i\in I}$ una collezione di $R$-moduli (per $R$ anello unitario). Allora la somma diretta $\oplus_i M_i$ e' definita come quell'$R$-modulo, se esiste, dotato di una collezione di monomorfismi $j_i : M_i\to \oplus M_i$ tali che per ogni $R$-modulo $N$ e ogni collezione $n_i : M_i\to N$ di morfismi di $R$-moduli, esiste un unico morfismo $n:\oplus_i M_i$ che fattorizza ogni $n_i$ attraverso $j_i$, ovvero $n_i = n\circ j_i$.
Se $\oplus_i M_i$ esiste, e' unico a meno di un unico isomorfismo, come e' facile dimostrare.

Si vede, verificando la proprieta', che $\oplus_i M_i$ e' (isomorfo al)l'insieme delle funzioni $I\to \prod M_i$ tali che $f(i)\in M_i$ per ogni $i\in I$, e $f(i)=0$ per quasi ogni $i\in I$.