Definizione Sottoreticolo

[Leonardo202]

salve. in pratica non mi trovo con la definizione di sottoreticolo presa da wikipedia:
eccola:
Sia (R, ∨, ∧) un reticolo, e sia (R' , ≤) un suo sottoinsieme ordinato. Allora R' si dice sottoreticolo di R se per ogni x, y ∈ R' implica x ∨ y ∈ R' e x ∧ y ∈ R' .

Si noti che x ∨ y e x ∧ y sono il sup e l'inf di {x,y} calcolati in R.

in pratica mi trovo con il fatto che il sottoinsieme R' del reticolo R per essere un sottoreticolo dev essere stabile con V e la V(rovesciata)..
ma non riesco a capire perchè dopo dice questo:


Si noti che x ∨ y e x ∧ y sono il sup e l'inf di {x,y} calcolati in R.
che vuol dire??
grazie

[itpareid]

scusa, ma tu studi su wikipedia?

[Leonardo202]

no ma vorrei spiegazione su quella cosa se possibile grazie.

[maurer]

Beh, è molto semplice. Consideriamo ad esempio il seguente reticolo [tex]R = \{a,b,c,d,e,f\}[/tex] rappresentato dal diagramma di Hasse

[tex]\xymatrix{ & f \\ & e \ar@{-} \\ c \ar@{-}[ur] & & d \ar@{-}[ul] \\ & b \ar@{-}[ur] \ar@{-}[ul] \\ & a \ar@{-}}[/tex]

e poi considera il sottoinsieme [tex]S = \{a,c,d,f\}[/tex]. Chiaramente, con la stessa relazione d'ordine di prima questo è un reticolo di per sé. Ma calcolare l'estremo inferiore in [tex]S[/tex] di [tex]c[/tex] e [tex]d[/tex] fornisce come risultato [tex]a[/tex], mentre farlo in [tex]R[/tex] fornisce [tex]b[/tex]. Pertanto [tex]S[/tex] non è un sottoreticolo (com'è intuitivo che sia, avendo perso contiguità!).

[Leonardo202]

non ho capito il tuo esempio..
io vorrei solo capire perchè wikipedia da quella definizione(la parte che non mi è chiara) che ho scritto sopra
grazie

[maurer]

Guarda, il mio esempio mostra proprio la necessità di quella parte di definizione. Prova a riguardarlo (con calma) ed a ragionare un po'.

Poi, se non avessi ancora chiaro qualcosa, fai delle domande specifiche e proverò a risponderti.

[Leonardo202]

ma la mia prof per definizione mi ha dato che un reticolo è un sottoreticolo di un reticolo se e solo se:
è stabile rispetto ad a v b e a v(rovesciata) b quindi è incompleta la sua definizione??

[maurer]

Dipende un po' da che cosa intendi tu per "stabile". Io, personalmente, intendo quello che dice wikipedia. E credo che lo faccia anche chiunque altro.

(L'analogia con le altre strutture algebriche qui aiuta molto. Quando chiediamo che un sottoinsieme sia stabile rispetto ad un'operazione vogliamo che l'operazione sia calcolata nella struttura di partenza e che il risultato appartenga al sottoinsieme.)

[Leonardo202]

ma quindi in sintesi in un sottorecolo cosa deve accadere??
che per ogni coppia di elementi del sottoreticolo l'estremo inferiore e superiore appartenga al sottoinsieme oppure che esista e che sia lo stesso del reticolo (sovrainsieme)??

[maurer]

Di fatto, hai detto due volte la stessa cosa. Quando dici

"Leonardo20":
[...] oppure che esista e che sia lo stesso del reticolo [...]

stai implicitamente dicendo "che esista nel sottoinsieme e che sia lo stesso del reticolo".

Comunque, in sintesi, affinché un sottoinsieme sia un sottoreticolo deve:

i) essere lui stesso un reticolo, rispetto alla stessa relazione d'ordine del reticolo di partenza;
ii) calcolare estremo inferiore ed estremo superiore nel sottoreticolo deve fornire lo stesso risultato che calcolarli nel reticolo di partenza.
[/list:u:1ky0tmia]

[Leonardo202]

ok allora per sottoinsieme stabile di un insieme che cosa si intende??

[maurer]

L'ho già detto.

"maurer":Quando chiediamo che un sottoinsieme sia stabile rispetto ad un'operazione vogliamo che l'operazione sia calcolata nella struttura di partenza e che il risultato appartenga al sottoinsieme.

[Leonardo202]

si ok ma questo mica implica che il risultato dell sottoinsieme sia lo stesso di quello della struttura di partenza?? come accade nei sottoreticoli??
semplicemente vuol dire che il risultato di un operazione all interno di un sottoinsieme appartenga al sottoinsieme e non che il risultato sia lo stesso di quello della struttura di partenza come nei sottoreticoli giusto??

[maurer]

Ma certo che i due risultati devono coincidere, altrimenti staremmo a parlare di strutture diverse che, per caso, sono definite su stessi elementi.

Cioè, se consideri [tex]\mathbb Z[/tex] come gruppo e poi [tex]2 \mathbb Z[/tex] come sottogruppo, dovrà ben essere vero che [tex]2 + 2 = 4[/tex] in [tex]2 \mathbb Z[/tex] così come in [tex]\mathbb Z[/tex]! Altrimenti, staremmo a parlare di aria fritta!

Quando abbiamo una struttura algebrica (gruppo, anello, reticolo, ecc.) possiamo sempre definire la nozione di sottostruttura. Ma vogliamo che abbia un briciolo di senso e pertanto esigiamo che non si debba dare una nuova legge per le operazioni: vogliamo che la legge sia la stessa e che inoltre i risultati siano contenuti nel sottoinsieme desiderato. Altrimenti, ripeto, niente avrebbe senso!