Definizione rigorosa, matematicamente, di \( a \ll b \)...
Salve a tutti,
nel libri di statistica dei dati trovi la scrittura \( a \ll b \), che si legge \( a \) molto più piccolo di \( b \) (o: \( b \) molto più grande di \( a \)), solo che una simile scrittura rigorosamente e formalmente non saprei quando e come usarla, io penso sia una sorta di relazione di chissà quale ordine ma la condizione affinchè lo sia mi sfugge.. pensandoci ho pensato alla seguente $$a \ll b \text{ se } \exists k \in \Bbb{R}^{>1}(a0}$$ prendo \(a,b \in \Bbb{R}^{>0}\) poichè tanto mi servono positivi a livello statistico.. vorrei un parere matematico sulla definizione suddetta. Ringrazio anticipatamente!
Saluti
P.S.=Ho provato a cercare online un qualche testo o altro ma non riesco a trovare nulla in merito!
nel libri di statistica dei dati trovi la scrittura \( a \ll b \), che si legge \( a \) molto più piccolo di \( b \) (o: \( b \) molto più grande di \( a \)), solo che una simile scrittura rigorosamente e formalmente non saprei quando e come usarla, io penso sia una sorta di relazione di chissà quale ordine ma la condizione affinchè lo sia mi sfugge.. pensandoci ho pensato alla seguente $$a \ll b \text{ se } \exists k \in \Bbb{R}^{>1}(a
Saluti
P.S.=Ho provato a cercare online un qualche testo o altro ma non riesco a trovare nulla in merito!
Risposte
Stai solo dicendo che è strettamente maggiore. Sinceramente penso che non vi sia un modo rigoroso per dirlo. Alle volte essere 10 volte maggiore è sufficiente, altre volte no. Io lo tradurrei con sufficientemente maggiore, nel senso che stai supponendo che il rapporto tra i due sia sufficientemente piccolo da far valere le proprietà che dirai dopo.
@vict85,
continua a sfuggirmi il senso di
e
poi, se non vi è un modo rigoroso per dirlo allora perchè si usano?
Ringrazio della risposta! Saluti
"vict85":
Stai solo dicendo che è strettamente maggiore. Sinceramente penso che non vi sia un modo rigoroso per dirlo. Alle volte essere 10 volte maggiore è sufficiente, altre volte no. Io lo tradurrei con sufficientemente maggiore, nel senso che stai supponendo che il rapporto tra i due sia sufficientemente piccolo da far valere le proprietà che dirai dopo.
continua a sfuggirmi il senso di
"vict85":
sufficientemente maggiore
e
"vict85":
sufficientemente piccolo
poi, se non vi è un modo rigoroso per dirlo allora perchè si usano?
Ringrazio della risposta! Saluti
Riguardo a sufficientemente piccolo lo definirei così: sia \(\displaystyle P \) una proposizione tale che \(\displaystyle \forall a,b,c \bigl[ asufficientemente piccolo rispetto a b e la proposizione \(\displaystyle P \) se \(\displaystyle \exists 0< \varepsilon < 1 \bigl[ a < \varepsilon b \wedge P(b,\varepsilon b) \bigr] \). O qualcosa del genere.
Siccome \(\displaystyle a\ll b \) è equivalente a dire che \(\displaystyle \frac{a}{b} \ll 1 \) allora ci si può limitare a cercare di definire \(\displaystyle \frac{a}{b} \ll 1 \). D'altra parte in alcuni casi \(\displaystyle {10}^{-n} \ll 1 \) mentre in altri non è così. Quello che cambia è il contesto. È per questo che dico che la definizione che ho espresso sopra è più vicina all'uso che se ne fa. In genere infatti si suppone che si abbia \(\displaystyle a\ll b \) per semplificare una qualche formula. Questa semplificazione sarà ovviamente sempre una approssimazione e sarà sempre più precisa man mano che \(\displaystyle \frac{a}{b} \to 0 \). In questi termini si può dire che sta al ‘lettore’ decidere se nella propria applicazione pratica \(\displaystyle a \) sia effettivamente molto più piccolo di \(\displaystyle b \).
Faccio un analogo informatico. Se tu hai un numero a virgola mobile di precisione finita allora se \(\displaystyle 0 < a\ll b\) si avrà \(\displaystyle b\oplus a = b \) malgrado \(\displaystyle a> 0 \) (dove \(\displaystyle \oplus \) è l'operazione in questo insieme). Se tu conosci la precisione del numero a virgola mobile allora tu puoi determinare con precisione cosa significhi \(\displaystyle 0 < a\ll b\) anche se lo stesso valore non sia adatto a numeri di virgola mobile con precisione superiore.
Siccome \(\displaystyle a\ll b \) è equivalente a dire che \(\displaystyle \frac{a}{b} \ll 1 \) allora ci si può limitare a cercare di definire \(\displaystyle \frac{a}{b} \ll 1 \). D'altra parte in alcuni casi \(\displaystyle {10}^{-n} \ll 1 \) mentre in altri non è così. Quello che cambia è il contesto. È per questo che dico che la definizione che ho espresso sopra è più vicina all'uso che se ne fa. In genere infatti si suppone che si abbia \(\displaystyle a\ll b \) per semplificare una qualche formula. Questa semplificazione sarà ovviamente sempre una approssimazione e sarà sempre più precisa man mano che \(\displaystyle \frac{a}{b} \to 0 \). In questi termini si può dire che sta al ‘lettore’ decidere se nella propria applicazione pratica \(\displaystyle a \) sia effettivamente molto più piccolo di \(\displaystyle b \).
Faccio un analogo informatico. Se tu hai un numero a virgola mobile di precisione finita allora se \(\displaystyle 0 < a\ll b\) si avrà \(\displaystyle b\oplus a = b \) malgrado \(\displaystyle a> 0 \) (dove \(\displaystyle \oplus \) è l'operazione in questo insieme). Se tu conosci la precisione del numero a virgola mobile allora tu puoi determinare con precisione cosa significhi \(\displaystyle 0 < a\ll b\) anche se lo stesso valore non sia adatto a numeri di virgola mobile con precisione superiore.
@vict85,
scusami mi ero quasi dimenticato del post... thanks delle risposte, anche se vanno un po oltre la semplice trattazione del concetto di "molto più piccolo" che il docente intende (ammesso intende qualcosa)
.. comunque ho trovato online questo "Rendiconto..":
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSMUP ... __27_0.pdf
mi sembra interessante anche se poco utile.. grazie ancora!
Saluti
P.S.=Quando il docente mi darà il suo senso di "molto più piccolo" posterò la cosa per completezza dell'argomento!
"vict85":
Riguardo a sufficientemente piccolo lo definirei così: sia \(\displaystyle P \) una proposizione tale che \(\displaystyle \forall a,b,c \bigl[ asufficientemente piccolo rispetto a b e la proposizione \(\displaystyle P \) se \(\displaystyle \exists 0< \varepsilon < 1 \bigl[ a < \varepsilon b \wedge P(b,\varepsilon b) \bigr] \). O qualcosa del genere.
Siccome \(\displaystyle a\ll b \) è equivalente a dire che \(\displaystyle \frac{a}{b} \ll 1 \) allora ci si può limitare a cercare di definire \(\displaystyle \frac{a}{b} \ll 1 \). D'altra parte in alcuni casi \(\displaystyle {10}^{-n} \ll 1 \) mentre in altri non è così. Quello che cambia è il contesto. È per questo che dico che la definizione che ho espresso sopra è più vicina all'uso che se ne fa. In genere infatti si suppone che si abbia \(\displaystyle a\ll b \) per semplificare una qualche formula. Questa semplificazione sarà ovviamente sempre una approssimazione e sarà sempre più precisa man mano che \(\displaystyle \frac{a}{b} \to 0 \). In questi termini si può dire che sta al ‘lettore’ decidere se nella propria applicazione pratica \(\displaystyle a \) sia effettivamente molto più piccolo di \(\displaystyle b \).
Faccio un analogo informatico. Se tu hai un numero a virgola mobile di precisione finita allora se \(\displaystyle 0 < a\ll b\) si avrà \(\displaystyle b\oplus a = b \) malgrado \(\displaystyle a> 0 \) (dove \(\displaystyle \oplus \) è l'operazione in questo insieme). Se tu conosci la precisione del numero a virgola mobile allora tu puoi determinare con precisione cosa significhi \(\displaystyle 0 < a\ll b\) anche se lo stesso valore non sia adatto a numeri di virgola mobile con precisione superiore.
scusami mi ero quasi dimenticato del post... thanks delle risposte, anche se vanno un po oltre la semplice trattazione del concetto di "molto più piccolo" che il docente intende (ammesso intende qualcosa)
.. comunque ho trovato online questo "Rendiconto..":http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSMUP ... __27_0.pdf
mi sembra interessante anche se poco utile.. grazie ancora!
Saluti
P.S.=Quando il docente mi darà il suo senso di "molto più piccolo" posterò la cosa per completezza dell'argomento!
Mi sembra che il rendiconto abbia una impostazione simile a quella che ho usato io. Anche se ha supposto nella formula sulla potenza che \(b>1\) ma ci stava.
@vict85,
ammetto che alla fine lo stesso docente ha preferito non usare più questa scrittura... comunque grazie delle delucidazioni, le terrò a mente!
Saluti
"vict85":
Mi sembra che il rendiconto abbia una impostazione simile a quella che ho usato io. Anche se ha supposto nella formula sulla potenza che \(b>1\) ma ci stava.
ammetto che alla fine lo stesso docente ha preferito non usare più questa scrittura... comunque grazie delle delucidazioni, le terrò a mente!
Saluti
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