.. definizione precisa di notazione indiciale ..

Marios1
avrei necessitá di una precisa e chiara definizione della notazione indiciale, le famose \(\sum_{i \in I}, \prod_{i \in I}, \bigcap_{i \in I},...\), non roba del tipo "somma finita degli n elementi" o "somma degli elementi a_i con i in I",...., perché questi modi di dire a me sembrano riferiti a come si legge il simbolo di sommatoria o altri... spero di essermi spiegato bene!

Inoltre, non capisco il ruolo della variabile \(i\), semmai variabile sia, perché non eliminarla dal mezzo, in quanto ha davvero poco importanza e mi sembra lí messa tanto per dare una chissá quale idea intuitiva la simbolo, tanto é chiaro che, ad esempio, \(\sum_J a\), con \(a:I\to K\) e \(J \subseteq I\) é la "somma" delle immagini \(a(x)\) con \(x \in J\), ecco cosí sembra chiara la def. ma non é altro che un approccio intuitivo al simbolo, ho pensato ad una cosa del genere: \(\displaystyle \sum_J a:=\begin{cases} a(B) + \displaystyle \sum_{J-\{B\}} a & \text{, se } \exists x \in J:(x=B) \\ 0 & \text{, altrimenti } \end{cases}\) ho fatto alcuni esempi e mi sembra funzionare ma non studio matematica, studio fisica, e un parere/correzione/risposta da chi ne sa piú di me mi é di auto in questo caso.. ringrazio in anticipo!

Risposte
garnak.olegovitc1
Mmmmm dovresti fare qualche considerazione su K del tipo che magari dovrebbe essere un semigruppo con elemento unità (un monoide insomma) e sul fatto penso che J dovrebbe essere almeno finito sennò mi sembra tutto non ben definito... ma come te, preferisco aspettare la bacchetta di un matematico e comunque trovo bello il modo come lo hai definito quel simbolo (con quale materia ti è venuta la questione?)

Marios1
su \(K\) che deve essere magma con elemento neutro (ergo anche semigruppo per averlo unico) hai ragione
su \(J\) finito intendi dire che se non lo fosse nel caso infinito la somma non avrebbe senso? In effetti hai ragione
E´stato studiando algebra che mi é venuto un problema con quel simbolo....

grazie per la risposta intanto!!

garnak.olegovitc1
Kapiert! La difficoltà rispetto ad un approccio immediato ed intuitivo di quel silmbolo sta nell andarsi a trovare le funzioni \(a\) e particolari \(J\), sto passando nella mia testa alcune notazioni con la tua definizione e trovo ad esempio difficoltà, o magari mi sfugge qualcosa, nel trovare la funzione \(a\) nel caso del prodotto di Krönecker tra due polinomi (a livello intuitivo è semplicissimo con l uso della variabile \(i\) ma tu sei ostico ad usarla.... :P )

Marios1
[ot]prodotto di Krönecker? cosa sarebbe?[/ot]

garnak.olegovitc1
prendi due polinomi \(P,Q \in C[X]\), ovvero due funzioni da \(\Bbb{N}_0=\{0,1,...,n,n+1,...\}\) in \(C\) tale che \(\exists m,n: \forall p>m,q>n : P(p)=0=Q(q)\); si definische prodotto (alla Krönecker) di \(P\) e \(Q\) il polinomio \(P\cdot Q\in C[X]\) tale che \((P\cdot Q)(i)=\sum_{a+b=i} P(a)Q(b), \forall i \in \Bbb{N}_0\)...
Prova con qualche esempio per capire attentamente la definizione
Magari conosci questo prodotto come "prodotto alla Cauchy", alle volte l ho letto sotto questo nome..

Ps: la notazione indiciale che coinvolge simboli di intersezione o unione o altri derivanti da questi due è di tipo strettamente "set theoretic" e non ha nulla a che fare in questo caso, infatti basta prendere del tipo \( \bigcup \operatorname{cod} (a)\) oppure \( \bigcap \operatorname{cod}(a) \) e questi due sono ben definiti da un assioma insiemistico. Se possibile è definire anche la tua sommatoria o produttoria in maniera "set theoretic" non saprei....

Marios1
"garnak.olegovitc":

Ps: la notazione indiciale che coinvolge simboli di intersezione o unione o altri derivanti da questi due è di tipo strettamente "set theoretic" e non ha nulla a che fare in questo caso, infatti basta prendere del tipo \( \bigcup \operatorname{cod} (a)\) oppure \( \bigcap \operatorname{cod}(a) \) e questi due sono ben definiti da un assioma insiemistico.

vero, hai ragione.. non ci avevo pensato! Ne approfitto per uppare inoltre

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