Definizione numero reale
Chi mi da una definizione adeguata di numero reale, posibilmente con esempi, grazie.
p.s. non si accettano link di wikipedia
p.s. non si accettano link di wikipedia
Risposte
Se n'è parlato qui e qui, ad esempio.
Una definizione seria la trovi sui buoni testi di Analisi o di Algebra di una volta.
Una definizione seria la trovi sui buoni testi di Analisi o di Algebra di una volta.
Che cosa c'era che mancava nei numeri razionali ? Perchè si è arrivati ai numeri reali ?
"DR1":\(\sqrt{2}\)!
Che cosa c'è che mancava nei numeri razionali ?
P.S.: Ma le tue conoscenze, oltre che storiche, di matematica dove si fermano?
Lo scrivo per due motivi: primo una domanda del genere posta nella sezione di algebra mi fa cadere le braccia da dosso; secondo non mi azzardo a risponderti alla cieca sulla seconda domanda! 
"j18eos":\(sqrt{2}\)!
[quote="DR1"]Che cosa c'è che mancava nei numeri razionali ?
P.S.: Ma le tue conoscenze, oltre che storiche, di matematica dove si fermano?
Lo scrivo per due motivi: primo una domanda del genere posta nella sezione di algebra mi fa cadere le braccia da dosso; secondo non mi azzardo a risponderti alla cieca sulla seconda domanda! [/quote]Questa sezione è anche di logica. Sinceramente non mi sembra così fuori luogo; il fatto che si faccia spesso ad analisi non vuol dire che non sia una domanda di carattere algebrico-logico. In realtà comunque la stessa domanda prevederebbe di definire che struttura è stata definita su \(\displaystyle \mathbb{Q} \).
$QQ = { (p/q) : p,q in ZZ ,q != 0 } $, dunque la sua struttura è un estenzione dell'insieme dei numeri interi; infatti grazie a $QQ$ si possono trovare valori numerici tra due numeri interi.
E per quanto riguarda $RR$ ?
E per quanto riguarda $RR$ ?
"vict85":Ciò che mi ha stupito (e che mi stupisce) di quella domanda è che ad essa si risponde facilmente coi numeri irrazionali (\(\sqrt2\) per antonomàsia)... poi si può esporre il perché non basta "aggiungere" i numeri irrazionali ai numeri razionali per avere una "completezza", e da qui si inizia poi tutto un grande discorso.
...Questa sezione è anche di logica. Sinceramente non mi sembra così fuori luogo; il fatto che si faccia spesso ad analisi non vuol dire che non sia una domanda di carattere algebrico-logico...
Non che voglia schernire DR1 o snobbare l'analisi...
"DR1":Dal punto di vista logico-algebrico si costruiscono!
...grazie a $ QQ $ si possono trovare valori numerici tra due numeri interi...
La costruzione di \(\mathbb{R}\) è più complicata; una giustificazione: non esiste in \(\mathbb{Q}\) l'estremo superiore dell'inseme \(\{x\in\mathbb{Q}\mid x^2<2\}\) quindi si vuole completare \(\mathbb{Q}\) in un insieme completo rispetto all'ordine.
Mi capisci fin qui?
L'insieme , chiamiamolo $A = { x in QQ : x^2 < 2 }$, non rappresenta l'insieme completo $QQ$ ed è dunque un sottoinsieme, cioè $ A sube QQ $.
Il maggiorante di quel sottoinsieme è $sqrt 2 $ , mentre l'estremo superiore non esiste, perchè $sqrt 2 $ può solo essere approssimato ad un numero razionale;
quindi per la costruzione di $RR$ ?
Il maggiorante di quel sottoinsieme è $sqrt 2 $ , mentre l'estremo superiore non esiste, perchè $sqrt 2 $ può solo essere approssimato ad un numero razionale;
quindi per la costruzione di $RR$ ?
"DR1":
L'insieme , chiamiamolo $A = { x in QQ : x^2 < 2 }$, non rappresenta l'insieme completo $QQ$ ed è dunque un sottoinsieme, cioè $ A sube QQ $.
Il maggiorante di quel sottoinsieme è $sqrt 2 $ , mentre l'estremo superiore non esiste, perchè $sqrt 2 $ può solo essere approssimato ad un numero razionale;
quindi per la costruzione di $RR$ ?
Attenzione, $\sqrt2 $ non può essere neanche un maggiorante perché non è razionale! Stai pensando $A$ come sottoinsieme di $Q$ e non di $RR$-
@DR1 Eh no! Come ti ha fatto notare Kashaman: in \(\mathbb{Q}\) non esiste \(\sqrt{2}\), e non sei nemmeno autorizzato a dire chi è; il salto logico è questo: definisco \(\mathbb{R}\) l'insieme degli estremi superiori e inferiori dei sottoinsiemi di \(\mathbb{Q}\)... qui iniziano i fastidi: ma un tale insieme esiste?, è non vuoto?, è ordinabile?, è un campo? e.o.
Questa è una possibile costruzione di \(\mathbb{R}\); storicamente, per quanto ne so, il primo tentativo che poi si è rivelato corretto (probabilmente aggiustato lungo il tempo) è dovuto a Cauchy; sul computer ho due articoli: uno del gennaio 2003 e un altro del maggio 2004 in cui sono esposte altre due possibili costruzioni di \(\mathbb{R}\)...
Mi aspetto almeno una domanda!
Questa è una possibile costruzione di \(\mathbb{R}\); storicamente, per quanto ne so, il primo tentativo che poi si è rivelato corretto (probabilmente aggiustato lungo il tempo) è dovuto a Cauchy; sul computer ho due articoli: uno del gennaio 2003 e un altro del maggio 2004 in cui sono esposte altre due possibili costruzioni di \(\mathbb{R}\)...
Mi aspetto almeno una domanda!
"j18eos":\(\sqrt{2}\)!
[quote="DR1"]Che cosa c'è che mancava nei numeri razionali ?
P.S.: Ma le tue conoscenze, oltre che storiche, di matematica dove si fermano?
Lo scrivo per due motivi: primo una domanda del genere posta nella sezione di algebra mi fa cadere le braccia da dosso; secondo non mi azzardo a risponderti alla cieca sulla seconda domanda! [/quote]Armando, scusa la franchezza, ma non è che non vale la pena parlare di una cosa solo perché per te è facile o ovvia. Se uno chiede quanto fa sette per sei cosa fai lo insulti? Ciao.
Evidenzierei che le origini della creazione di \(\mathbb{R}\) sono, per certi versi, essenzialmente geometriche perché nascono dal fatto che usando \(\mathbb{Q}\) non possiamo definire la distanza della diagonale di un quadrato, oppure, ancora più incredibile, in \(\mathbb{Q}^2\) la circonferenza unitaria e la bisettrice non si intersecano. Si noti che già Archimede si era posto il problema che un tale evento necessitasse un assioma indipendente da quelli della geometria euclidea (è uno dei primi bachi di Euclide trovati insieme al fatto che non era ben definito il concetto di lunghezza), tanto da introdurre il suo assioma di continuità.
@Martino Penso di aver chiarito col mio secondo intervento, se non è ancora chiaro qualcosa a te od altri sono qui a disposizione!
Una nota personale: i numeri reali non sono dei gingilli nemmeno per me che ho capite la costruzione di Cauchy e l'assiomatizazzione di Goedel!
Una nota personale: i numeri reali non sono dei gingilli nemmeno per me che ho capite la costruzione di Cauchy e l'assiomatizazzione di Goedel!
Le costruzioni classiche dei numeri reali e ho notato che bisogna avere nozioni avanzate, che vengono acquisite successivamente in un normale percorso di studio, come, serie,successioni, anelli, ecc..
Come si fà a comprendere gli insiemi numerici ( a base della matematica) senza questi concetti ?
E come si fà a comprendere questi concetti, non avendo ben chiaro quello su cui si basano (conoscenza degli insiemi numerici ) ?
Vi sembra corretto un percorso di studio strutturato in questo modo ?
Quale potrebbe essere una soluzione ?
Come si fà a comprendere gli insiemi numerici ( a base della matematica) senza questi concetti ?
E come si fà a comprendere questi concetti, non avendo ben chiaro quello su cui si basano (conoscenza degli insiemi numerici ) ?
Vi sembra corretto un percorso di studio strutturato in questo modo ?
Quale potrebbe essere una soluzione ?
Sinceramente non capisco la domanda. Una conoscenza elementare ed intuitiva degli insiemi numerici è sufficiente per la maggior parte delle applicazioni. Tanto le assiomatizzazioni non si usano MAI. Sono solo delle definizioni che si usano per far funzionare le proprietà che noi associamo a quel particolare oggetto, proprietà che sono usate nella pratica.
Di fatto si può fare matematica anche molto avanzata senza conoscere neanche uno di quelle costruzioni e di fatto è stato così per molti matematici di calibro precedenti al '900. Ritenere che i numeri siano alla base della matematica lo trovo inoltre riduttivo e in gran parte sbagliato.
Di fatto si può fare matematica anche molto avanzata senza conoscere neanche uno di quelle costruzioni e di fatto è stato così per molti matematici di calibro precedenti al '900. Ritenere che i numeri siano alla base della matematica lo trovo inoltre riduttivo e in gran parte sbagliato.
@ DR1: In verità, gli insiemi numerici li ho costruiti durante le prime settimane del mio corso di Analisi I... Quindi non saprei che dirti: per me sapere come sono costruiti gli insiemi numerici è un fatto di base che può essere raggiunto con possedendo solamente le nozioni di insiemistica di base (in fondo serve conoscere la definizione di applicazione iniettiva/suriettiva/biiettiva, l'uso di unione ed intersezione e l'uso delle relazioni di equivalenza, tutte cose che si studiano anche ai primi anni del liceo).
"gugo82":
@ DR1: In verità, gli insiemi numerici li ho costruiti durante le prime settimane del mio corso di Analisi I... Quindi non saprei che dirti: per me sapere come sono costruiti gli insiemi numerici è un fatto di base che può essere raggiunto con possedendo solamente le nozioni di insiemistica di base (in fondo serve conoscere la definizione di applicazione iniettiva/suriettiva/biiettiva, l'uso di unione ed intersezione e l'uso delle relazioni di equivalenza, tutte cose che si studiano anche ai primi anni del liceo).
Beh, anche io. Anche se in effetti pensandoci il professore aveva anche accennato a cosa fosse un anello o un campo ma alla fine è solo un riprendere un concetto delle elementari (le varie proprietà delle operazioni) e dargli un nome. In definitiva è una parte del corso di analisi praticamente inutile che serve solo ad informarti che il numeri reali sono in effetti costruiti dai numeri razionali. La settimana successiva di corso puoi quasi dimenticartelo e usare quello che già sai dalle medie-superiori sui numeri reali.
La sua utilità maggiore è che ti fa ragionare sulla completezza di $RR$.
"vict85":
Evidenzierei che le origini della creazione di \( \mathbb{R} \) sono, per certi versi, essenzialmente geometriche perché nascono dal fatto che usando \( \mathbb{Q} \) non possiamo definire la distanza della diagonale di un quadrato, oppure, ancora più incredibile, in \( \mathbb{Q}^2 \) la circonferenza unitaria e la bisettrice non si intersecano. Si noti che già Archimede si era posto il problema che un tale evento necessitasse un assioma indipendente da quelli della geometria euclidea (è uno dei primi bachi di Euclide trovati insieme al fatto che non era ben definito il concetto di lunghezza), tanto da introdurre il suo assioma di continuità.
Grazie vict85
"gugo82":
@ DR1: In verità, gli insiemi numerici li ho costruiti durante le prime settimane del mio corso di Analisi I... Quindi non saprei che dirti: per me sapere come sono costruiti gli insiemi numerici è un fatto di base che può essere raggiunto con possedendo solamente le nozioni di insiemistica di base (in fondo serve conoscere la definizione di applicazione iniettiva/suriettiva/biiettiva, l'uso di unione ed intersezione e l'uso delle relazioni di equivalenza, tutte cose che si studiano anche ai primi anni del liceo).
Potresti darmi una mano a capire le costruzioni classiche dei numeri reali postate con link ?
Non capisco i primi passaggi, dove si guinge ad un insieme $RR$ da $ QQ uu QQ $
Non dovrebbe essere che $ QQ uu QQ $ dia semplicemente $ QQ^2 $ ?
L'unione disgiunta e il prodotto cartesiano non sono la stessa cosa (neanche nel caso finito). Comunque ci sono ben più costruzioni del necessario in quei fogli. La parte su Dedekind è quella su cui devi prestare più attenzione. In ogni caso la si vede all'università, non c'è motivo di anticiparla.
Il problema di quella tesi è che da per scontato un lessico algebrico che probabilmente neanche esisteva quanto quelle costruzioni sono state fatte. Il suo uso rende il testo molto più agevole e per chi lo conosce ma non è strettamente necessario.
Il problema di quella tesi è che da per scontato un lessico algebrico che probabilmente neanche esisteva quanto quelle costruzioni sono state fatte. Il suo uso rende il testo molto più agevole e per chi lo conosce ma non è strettamente necessario.
"vict85":
[quote="gugo82"]@ DR1: In verità, gli insiemi numerici li ho costruiti durante le prime settimane del mio corso di Analisi I... Quindi non saprei che dirti: per me sapere come sono costruiti gli insiemi numerici è un fatto di base che può essere raggiunto con possedendo solamente le nozioni di insiemistica di base (in fondo serve conoscere la definizione di applicazione iniettiva/suriettiva/biiettiva, l'uso di unione ed intersezione e l'uso delle relazioni di equivalenza, tutte cose che si studiano anche ai primi anni del liceo).
Beh, anche io. Anche se in effetti pensandoci il professore aveva anche accennato a cosa fosse un anello o un campo ma alla fine è solo un riprendere un concetto delle elementari (le varie proprietà delle operazioni) e dargli un nome. In definitiva è una parte del corso di analisi praticamente inutile che serve solo ad informarti che il numeri reali sono in effetti costruiti dai numeri razionali. La settimana successiva di corso puoi quasi dimenticartelo e usare quello che già sai dalle medie-superiori sui numeri reali.
La sua utilità maggiore è che ti fa ragionare sulla completezza di $RR$.[/quote]
Dimenticartelo non direi... Insomma, ad esempio la proprietà di completezza (i.e., l'esistenza dell'estremo superiore/inferiore), che si dimostra facendo la costruzione, è la proprietà che rende possibile fare Calcolo Infinitesimale su \(\mathbb{R}\) (e non su \(\mathbb{Q}\)). Quindi non credo che possa essere dimenticata e/o accantonata facilmente.
Allo stesso modo, facilmente si comprende e difficilmente si dimentica il senso del Principio d'Induzione quando esso è inquadrato come assioma costruttivo dei numeri naturali.
Quello che si "dimentica" è la costruzione in sé, i.e. tutta la sovrastruttura algebrica che non è immediatamente utile all'Analista; ma il resto rimane, eccome!
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