Definizione di segnatura

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
cortesemente avrei bisogno di una definizione rigorosa di segnatura, so a livello intuitivo che è il numero delle delle coppie ordinate \( (a,b) \) di \( I_n^2 \), ove \( I_n := \{1,2,...,n\} \), tale che \( (a,b) \) è un'inversione di \( f \), con \( f \in S_n \), sapendo che \( S_n \) è l'insieme di tutte le permutazioni in \( I_n \)
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti!

P.S.=Io penso al concetto di cardinalità, ma come formalizzare non saprei... e poi, è possibile fare a meno del concetto di cardinalità se con essa si possa definire?

[vict85]

A me sembra tu intenda segno o parità di una permutazione. Comunque il segno di una permutazione è definito in vari modi tutti equivalenti. Per comodità uso \(\displaystyle +1 \) e \(\displaystyle -1 \) al posto di pari o dispari.

In ogni caso:
[list=a]
[*:1ot7doxc] Il determinante della matrice associata alla permutazione;[/*:m:1ot7doxc]
[*:1ot7doxc] \(\displaystyle (-1)^n \) dove \(\displaystyle n \) è il numero di inversioni della permutazione;[/*:m:1ot7doxc]
[*:1ot7doxc] \(\displaystyle (-1)^n \) dove \(\displaystyle n \) è il numero di trasposizioni di una qualsiasi scomposizione della permutazione in \(\displaystyle 2 \)-cicli;[/*:m:1ot7doxc]
[*:1ot7doxc] \(\displaystyle (-1)^{\sum (n_j-1)} \) dove \(\displaystyle n_j \) è la lunghezza del j-esimo ciclo disgiunto della scomposizione della permutazione in cicli disgiunti;[/*:m:1ot7doxc]
[*:1ot7doxc] Se \(\displaystyle P(x_1,\dotsc, x_n) = \prod_{i
Comunque puoi vedere qui

[garnak.olegovitc1]

Salve vict85,

"vict85":A me sembra tu intenda segno o parità di una permutazione. Comunque il segno di una permutazione è definito in vari modi tutti equivalenti. Per comodità uso \(\displaystyle +1 \) e \(\displaystyle -1 \) al posto di pari o dispari.

In ogni caso:
[list=a]
[*:2jyv2in4] Il determinante della matrice associata alla permutazione;[/*:m:2jyv2in4]
[*:2jyv2in4] \(\displaystyle (-1)^n \) dove \(\displaystyle n \) è il numero di inversioni della permutazione;[/*:m:2jyv2in4]
[*:2jyv2in4] \(\displaystyle (-1)^n \) dove \(\displaystyle n \) è il numero di trasposizioni di una qualsiasi scomposizione della permutazione in \(\displaystyle 2 \)-cicli;[/*:m:2jyv2in4]
[*:2jyv2in4] \(\displaystyle (-1)^{\sum (n_j-1)} \) dove \(\displaystyle n_j \) è la lunghezza del j-esimo ciclo disgiunto della scomposizione della permutazione in cicli disgiunti;[/*:m:2jyv2in4]
[*:2jyv2in4] Se \(\displaystyle P(x_1,\dotsc, x_n) = \prod_{i
Comunque puoi vedere qui

ti ringrazio della risposta, ma quindi nel mio caso è giusto considerare il caso b)?? Ovvero in cui \( n \) è la cardinalità dell'insieme \( \{(a,b) \in I_n^2 | a
Cordiali saluti

[vict85]

Si, comunque in genere si considerai il caso d) per la sua facilità di calcolo e il caso c) per le dimostrazioni.

[vict85]

Mi è venuto in mente che il punto (a) è un po' discutibile come definizione perché nella definizione di determinante si usa spesso il segno della permutazione. Quindi ha scopi pratici ma non può essere usato come definizione.

[garnak.olegovitc1]

Salve vict85,
grazie della risposta!!
Cordiali saluti