Definizione di relazione d'equivalenza
Su tutti i testi di algebra che ho potuto consultare la definizione di relazione d'equivalenza è grossomodo la seguente:
1. [tex]\forall x\in X, x\sim x[/tex] (proprietà riflessiva).
2. [tex]\forall x,y \in X, x\sim y \rightarrow y\sim x[/tex] (proprietà simmetrica).
3. [tex]\forall x,y,z \in X, x\sim y, y\sim z \rightarrow x\sim z[/tex] (proprietà transitiva).
Riflettendo un po' sulle cose però non capisco perchè venga richiesta esplicitamente la proprietà riflessiva. Ad esempio, io faccio un ragionamento di questo genere:
Consideriamo [tex]x,y\in X[/tex] e supponiamo [tex]x\sim y[/tex]. Per la proprietà simmetrica avremo allora che [tex]y\sim x[/tex]. Sfruttando la proprietà transitiva: [tex]x\sim y, y\sim x \rightarrow x\sim x[/tex]. Quindi simmetria e transitività implicano la riflessiva.
È corretto un ragionamento di questo tipo? Sapreste dirmi qualcosa in più sulla questione?
1. [tex]\forall x\in X, x\sim x[/tex] (proprietà riflessiva).
2. [tex]\forall x,y \in X, x\sim y \rightarrow y\sim x[/tex] (proprietà simmetrica).
3. [tex]\forall x,y,z \in X, x\sim y, y\sim z \rightarrow x\sim z[/tex] (proprietà transitiva).
Riflettendo un po' sulle cose però non capisco perchè venga richiesta esplicitamente la proprietà riflessiva. Ad esempio, io faccio un ragionamento di questo genere:
Consideriamo [tex]x,y\in X[/tex] e supponiamo [tex]x\sim y[/tex]. Per la proprietà simmetrica avremo allora che [tex]y\sim x[/tex]. Sfruttando la proprietà transitiva: [tex]x\sim y, y\sim x \rightarrow x\sim x[/tex]. Quindi simmetria e transitività implicano la riflessiva.
È corretto un ragionamento di questo tipo? Sapreste dirmi qualcosa in più sulla questione?
Risposte
Non è vero che simmetria e transitività implicano la proprietà riflessiva. Se osservi bene, nella tua dimostrazione hai usato il fatto che esiste un [tex]y[/tex] tale che [tex]x \sim y[/tex]. Ma può succedere che il tuo [tex]x[/tex] non sia in relazione con niente. Per esempio, dati [tex]a \in A[/tex], considera la relazione [tex]\{(a,a)\}[/tex] su [tex]A[/tex]. Questa è simmetrica e transitiva ma non è riflessiva a meno che [tex]A=\{a\}[/tex] (la proprietà riflessiva dice che tutta la diagonale, [tex]\{(x,x)\ |\ x \in A\}[/tex], appartiene alla relazione).
Ah, ecco cosa mi sfuggiva. Grazie mille.
Salve Injo,
Ovviamente niente da togliere a ciò detto da martino, ma aggiungo soltanto che nel testo, c'è questo trafiletto che forse risolve i tuoi dubbi:
Cordiali saluti
"Injo":
Su tutti i testi di algebra che ho potuto consultare la definizione di relazione d'equivalenza è grossomodo la seguente:
1. [tex]\forall x\in X, x\sim x[/tex] (proprietà riflessiva).
2. [tex]\forall x,y \in X, x\sim y \rightarrow y\sim x[/tex] (proprietà simmetrica).
3. [tex]\forall x,y,z \in X, x\sim y, y\sim z \rightarrow x\sim z[/tex] (proprietà transitiva).
Riflettendo un po' sulle cose però non capisco perchè venga richiesta esplicitamente la proprietà riflessiva. Ad esempio, io faccio un ragionamento di questo genere:
Consideriamo [tex]x,y\in X[/tex] e supponiamo [tex]x\sim y[/tex]. Per la proprietà simmetrica avremo allora che [tex]y\sim x[/tex]. Sfruttando la proprietà transitiva: [tex]x\sim y, y\sim x \rightarrow x\sim x[/tex]. Quindi simmetria e transitività implicano la riflessiva.
È corretto un ragionamento di questo tipo? Sapreste dirmi qualcosa in più sulla questione?
Ovviamente niente da togliere a ciò detto da martino, ma aggiungo soltanto che nel testo, c'è questo trafiletto che forse risolve i tuoi dubbi:
Cordiali saluti
bravo Martino, bella osservazione.
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